DELLA PARTIZIONE DEI NUMERI, ECC. 909 



10. Ciò posto, otterrò un'espressione per G (3, n) cercando 

 una tal funzione fn del numero n, che : 



a) per ogni numero w, f{n-{-6)=fn-\-n, 



b) e fl=f2=fS = f4: = fb = 0, e fQ = l. 



Col metodo dei coefficienti indeterminati trovo subito la 

 funzione intera che soddisfa alla a): ed è [{n — 3)2-(-c] 12, 

 e essendo una costante arbitraria. Non è possibile determinar e 

 in modo da soddisfare alle condizioni b); sicché la /"non è una 

 funzione intera. Ma, in virtìi della proposizione d'aritmetica ci- 

 tata nella nota del n. 5, soddisfa alla a) anche la funzione 

 E ) [(« — 3)^ -}- c]/12 (: nella quale basta poi prender per e uno 

 dei numeri 3, 4, 5, 6 o 7, perchè anche le b) sian soddisfatte, 

 come si vede ponendo, successivamente, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, al posto 

 di n. Concludo: 



XVI w € No . e € 3-7 . . G (3, w + 3) = E [{n^ + c)/12]. 



Leggeremo : " i terni di somma n -\- ^ son tanti quant'è la 

 parte intera di {n^ -{- d)jl2; nel numeratore della qual frazione 

 è lecito, al posto di 3, leggere 4, 5, 6 o 7, senza alterare il 

 risultato „. " Se w >> 0, tanti sono pure i modi, G' (3, m), nei 

 quali n può esser diviso in tre parti, disuguali o uguali ; e, se 

 n > 3, tanti pure i modi H' (3, n — 3), nei quali n — 3 può 

 esser formato sommando degli 1, dei 2, e dei 3 „. 



11. Possiamo distinguere il caso di n pari da quello di n 

 dispari. 



XVr /i e No . . G (3, 2/i + 3) = E (A2/3) . 



G (3, 2;^ + 4) = E [{h^-\- h 4- 1)/3]. 



Nella, prima uguaglianza si è scritto E{h^l3) invece di 

 E [(4/i2 -j- 4)/12], in virtìi della proposizione d'aritmetica: 



/ieNo.O.E[(A2-hl)/3] = E(A2/3), 



che discende dalla generale : 



a, 6 € No . e e Ni . è -|- rest (a, c)<Cc . ^ . quot (a -\-b,c) = quot {a, e), 



