910 ALBERTO TANTUKKI 



dopo aver osservato che, se h è un intero, rest (/«^, 3) <C 2. La 

 stessa proposizione generale dà che, se w è un intero: 



E [(m2 -I- 3)/12] = E [(w2 4- 4)/12] = ...== E [{n^ + 7)/12] , 



perchè sempre rest (m^, 12) <C 8. 



12. Dalla IV, dalla XI e dalla XVI segue subito la: 



XVII a;e — 1—1.3. 



1/(1 —x){\— x^) (1 — a;3) = I ì E [(w^ 4- 3)/12] x""-^ | m, 2 4- N^ ( . 



Eulero (v. pag. 186 del t. I àeWhitroductio), servendosi 

 della sua teoria generale delle serie ricorrenti, e usando perciò 

 delle funzioni circolari, dette lo sviluppo in serie del primo 

 membro di questa uguaglianza : i coefficienti che egli trova han 

 sei forme differenti, a seconda dei sei valori del resto di n 

 per 6. 



13. Diamo qualche proprietà del quadro A. 



XVIII n € Ni . . G (3, n) + 



G(3,w-fl)-f G(3,n+2)4- G(3,«+3) =G(3,2w). 



„ -h2x „ + „ =G(3,2^^+l). 



„ +2x „ +2X „ +G{3,>» + 4)=(*«-l)n/2. 



L'ultima di queste uguaglianze è caso particolare d'un le- 

 game tra i numeri G(m, w) e i numeri figurati, scoperto da 

 Eulero, mediante serie (v. a pag. 267 del t. I àoiVIntroductió). 

 Tutt'e tre si possono dimostrare per induzione. La prima, per es., 

 è vera per w = l, 2 e 8; e, suppostala vera per un dato va- 

 lore di n, lo è per w -f- 3, come si trae dalla V, dalla XIV e 

 dalla XV; ed è dunque vera in generale. 



