912 ALBERTO TANTURRI 



XXI « € 3 + Ni . . 



G (3, ?i 4- 1) 4- G (3, w + 2) — G (3, n + 3) 

 = G (3, w — 1) + G (3, n — 2) — G (3, w — 3) (i) 

 = G (3, n) - 1 E (n/3) — E [(w — 1)/3] | = G (3, n) — [1 — rest (n^ 3)]. 



xxr 



weNir^3xNi.o.G(3,>0+G}(3,n + 3)=G(3,w+l)+G(3,w+2) 



«63xNi.o. „ 4- „ = „ -f „ -fi. 



Quaterne di data somma. 



16. Volendo esprimere con una formula i numeri G (4, »), 

 possiamo restringerci al caso di n dispari o di n pari, in virtù 

 della: 



XXII /i e Ni . . G (4, 2 A 4- 2) = G (4, 2 A + 1) + G (3, A + 2). 



G (4, 2/i 4- 1) = G (4, 2A) 4- G (3, h) P). 



Si dimostra per induzione. La prima uguaglianza, per es.^ 

 è vera quando /i = 1 o a 2. E, suppostala vera per un dato 

 valore di li, lo è per A -(- 2; perchè 



G(4,2/i+€)=G(4,2/i+2)-f G(3,2A4-2) (v. V), 

 cioè a G(4,2A-fl)4G(3,A+2)+G{3,2A+2); 



che, come segue subito dalla XXIX, 



=G(4,2/i4-l)4-G{3,2A4-l)4-G(3, h 4-4), 

 cioè (v. V) a G(4,2A4-5)4-G(3, h +4). 



Essa uguaglianza è dunque vera in generale. 



(^) Tale uguaglianza risulta pure dalla XVII. Nella quale, infatti, la 

 serie del secondo membro ha per coefficienti i numeri G(3, n); e deve 

 essere ricorrente con la scala — 1,1,1,0, — 1, — 1,1, data dai coefficienti 

 dello sviluppo 1 — X — x^-\-x^-{-x^ — x'^ del denominatore (1 — x) {\ — x^) 



{') 

 XXir « € N, . . G (4, n + 1) = G (4, n) + G [3, E (n/2) + 2 rest (n, 2)]. 



XXII" /i€l+N,.0.G(4,2/! + 5)-G(4,2A + 4) = G(4,2A + 2) — G(4,2A4-1) 

 = G(4,2/i — 1)-G(4,2A— 2)-t-EW2)— l = G(3,A + 2). 



