DELLA PARTIZIONE DEI NUMERI, ECC. 913 



17. E studiamo dunque il caso di n dispari. 



G (4, 1) = G (4, 3) = G (4, 5) = G (4, 7) = 0. Si consideri poi 

 il quadro R ; nel quale i righi successivi sono progressioni aritme- 

 tiche di ragioni 1, 2, 3, ecc., 

 R) 1 2 3 Q) 1 3 e si passa dall'ultimo ter- 

 6 11 18 mine d'una progressione al 

 27 39 54 primo della seguente, ag- 

 72 94 120 giungendo la ragione di 



questa: e da esso si deduca 



il quadro Q, il cui primo 

 termine ^;= 0, e ogni altro = precedente -I- termine che nel 

 quadro R occupa lo stesso posto del precedente. I successivi 

 termini di questo quadro Q danno i valori di G (4, 9), G (4, 11), 

 G(4,13), ecc., quali si possono leggere nella colonna IV della 

 tabella dell' Introductio. Una formula per G (4, n), quando w sia 

 dispari, si presenta allora immediata (i) ; ma noi ne studieremo 

 una più conveniente. 



18. Adopereremo la proposizione: 



XXIII /i e Ni . . G (4, 2h + 7) = G (4, 2h ^ 1) -^ {h — l)/j/2 ; 



che, quando A >> 3, si può enunciare dicendo: " l'h^° termine 

 del quadro Q è uguale al termine immediatamente sovrapposto, 

 -{-l'ih — !)"•'' numero triangolare „. 



La formula è vera per h= 1 o 2 ; e, suppostala vera per 

 un dato valore di h, lo è per h -f- 2, come si trae dalla V e 

 dalla XV: ed è dunque vera in generale. 



19. E allora, col metodo del n. 10: 



XXIV /ieNo.(;eO-13.o.G(4,2A + 7) = EÌ[A2{/i-f 3) + c]/18(. 



Leggeremo: " le quaterne di somma 2h -{- 7 sono tante 

 quant'ò la parte intera di h^ {h -\- S) 1 18 ; al numeratore della 

 qual frazione è lecito aggiungere 1,2, ... , fino a 13, senza alte- 

 rare il risultato „. 



A€No.? = quot(/(. 3).r = rest(A, 3).O.G(4,2;j + 3) = ?(3r4-;j> — h — r)l2. 



