914 ALBERTO TANTUKKI 



Con questa XXIV, e con la prima uguaglianza della XXII, 

 la ricerca d'una formula per G (4, n) può dirsi compiuta. Ma nei 

 due numeri qui appresso giungeremo direttamente a una sem- 

 plice espressione di G (4, n), quando n sia pari. 



20. Comincio dallo stabilire la formula: 



XXV Ae3+Ni.o.G(4,2A+6)=G(4,2/i— 6) + (A— 2)(/i— 3) + 3. 



Si trasformi perciò la XXIII con la seconda uguaglianza 

 della XXIT, e avrò che 



G (4, 2/i -h 6) + G (3, h + 3) = G (4, 2/0 -j- G (3, h) -f {h—l)hl2; 



cioè, trasportando G (3, h) e tenendo conto della V, che 



G (4, 2h + 6) + G (2, h] = G (4, 2h) + [h — l)A/2. 



Questa uguaglianza, sommata con quella che si deduce da essa 

 cambiando hình — 3, dà subito (v. XIV) la formula da dimostrare. 



21. E, allora col solito metodo del n. 10: 



XXVI /ieNo.ce8-26.o.G(4,2/i4-6)=-E[(2A3-|-3/i2 + c)/36]. 



Leggeremo: " le quaterne di somma 2h ~\- 6 sono tante 

 quant'è la parte intera di (2^^ -|- 3/^^ + 8)/36 : nel numeratore 

 della qual frazione è lecito, al posto di 8, leggere 9, 10, ..., 

 fino a 26, senza alterare il risultato „. 



22. Le XXIV e XXVI si possono, e in più modi, riunire 

 in una sola. Citiamo, come esempio, la formula: 



XXVII « e No . . 



G (4, « + 6) = E ) ([E {nl2)f [w + 3 + 2 rest {n, 2)] -f 8)/36 \ {^). 



(') Nella prima delle due Note citate, il Platner dà per G (4, n) una 

 formula contenente un C, che = '24 o a 21, secondochè n e pari o dispari, 

 e un Ax, che = — 1, o a 0, o a 1, a seconda dei valori del resto, x, di « 

 per 12. Dello stesso tipo è la formula della seconda Nota; nella quale però 

 il numero variabile con rest (n, 12) ha dei valori, lì registrati, che vanno 

 da 49 a 144. Le dette due formule, come le altre delio stesso Autore per 

 G (3, n), G (5, w) e G (6, n), sono senza dimostrazione. 



