I.EON'IIJA TONELM 



LETTURE 



Sul valore di un certo pagionaiuento. 



Nota di LEONIDA TONELLI. 



Un riigionaniento ormai classico, per la dimostrazione di- 

 retta dell'esistenza del minimo (o massimo) in problemi di Calcolo 

 delle Vai'iazioni, è quello che, partendo da una successione mi- 

 nimizzante, conduce a determinare una nuova successione, estratta 

 dalla precedente e convergente ad un elemento limite, ed a mo- 

 strare poi che questo elemento dà in realtà il minimo per l'in- 

 tegrale di cui si tratta. La successione minimizzante, come è 

 noto, è una successione di curve o superfìci (a seconda della 

 natura del problema) per le quali l'integrale da render minimo 

 tende al suo limite inferiore! ; e sulla sua esistenza reale non 

 si crede genei'almente di soffermarsi a esitare (*); anzi, per 

 soprammercato, si aggiunge comunemente che di tali successioni 

 ne esistono, non una sola, ma infinito. E in questa abbondanza 

 la mente dei più si è sempre adagiata soddisfatta. Peraltro — 

 e in omaggio almeno al carattere odierno dell'analisi, che è 

 quello di una continua e non troppo comoda diffidenza — non 

 è del tutto ozioso il domandarsi se di successioni minimizzanti 

 ne esiste sempre veramente per lo meno una. K la domanda è 

 tanto pili legittima in quanto, nel caso generale, non sombra 

 possibile rispondervi in modo affermativo. 



Vediamo di chiarire la difficoltà. 



A giustificazione della tacita ipotesi, fatta di solito, dell't-si- 

 stenza di una successione minimizzante stanno le seguenti con- 

 siderazioni. Sia i il limite inferiore dell'integrale / da minimiz- 

 zare e che, per fissare le idee, supporremo esteso a curve. Esistono 

 certamente, per la definizione stessa di /, delle curve per le quali 



(•) Il primo a formulare la critica, che ha dato origline alla presento 

 Nota, fu il Caratiikodohv, Ueber die starken Maxìnm uiid Minhnti bei eiufachvH 

 httegrnlrn (* Math. Ann. ,, 62 Band). 



