6 LEON'IDA TONELLI 



accennato in principio, e le conseguenze che ne derivano, pre- 

 cipitano inesorabilmente o, per lo meno, sono condannati a re- 

 stare circondati da legittima diffidenza? E quanto vogliamo 

 esaminare qui. 



In modo preciso vogliamo mostrare che in tutti quei casi 

 in cui l'integrale da render minimo è una funzione semicontinua 

 inferiormente ddla linea d'integrazione, è possibile dare un criterio 

 per la scelta della curva C. , vale a dire, esiste effettivamente al- 

 meno una successione minimizzante (*). 



La quistione è tutta qui: estendere alle varietà non nume- 

 rabili quei criteri che assicurano l'esistenza di un ente limite 

 almeno per una successione di curve. Questi criteri sono tutti 

 basati sul concetto di uguale continuità e sul teorema rela- 

 tivo alle successioni di funzioni ugualmente continue, dovuti 

 all'Ascoli (**). E sull'estensione del teorema dell'Ascoli noi do- 

 vremo portare perciò la nostra attenzione. 



1. — Richiamiamo alcune definizioni, limitandoci, por sem- 

 plicità, alle funzioni di una sola variabile (reale). Sia data una 

 varietà W{f) di funzioni f, definite tutte in uno stesso inter- 

 vallo (rt, b). Le funzioni della varietà si dicono ugualmente con- 

 tinue in (r/, b) se, preso arbitrariamente un numero positivo € . 

 è possibile determinare almeno un b in modo che. essendo r 

 e x" due punti qualsiasi di (a, b). dalla disuguaglianza 



\x'—x"\<b. 



e qualunque sia la funziono f di W, scenda l'altra 



\f{x')~f{x")\<e. 



Una funzione F, definita in (a, b), si dice funzione limite 

 della varietà W se, preso l'è. esiste sempre qualche f distinta 

 da /'', che soddisfa, in tutto [a, b), alla 



\F-f\<e. 



(•) L'oflÌ8tf»nza di una successione minimizzante è dunque pienamente 

 KÌU8ti6cata in tutti i casi considerati nei miei lavori sul Calcolo dello Va- 

 riazioni, ed anche, per e«. (passando dal piano allo spazio^, nel problema 

 di Dirichlet e in quello di Plateau. 



(••) (J. Ascoli, Le curve limiti di unn varietà datn di nirtr. " Meni. 

 R. .\cc. dei Fiincei , (1883-84). 



