SUL VALORE DI UN CERTO RAGIONAMENTO 7 



Data una successione W^, W2, ..., W„, ... di insiemi di 

 funzioni, definite in (a, h), diremo che F è funzione limite della 

 successione se, preso il solito e, esistono infiniti insiemi W „ che 

 hanno almeno una funzione f„ soddisfacente in tutto [a, h) alla 



Diremo poi che la successione scritta converge uniforme- 

 mente in (a, b) verso F, se, preso Te. è possibile determinare un 

 indice Ti in modo che, per ogni n ~^ n, e per qualsiasi funzione f„ 

 di TF,, sia verificata la disuguaglianza precedente. 



2. — Ciò premesso, dimostriamo che 



se W(f) è una varietà di funzioni ugualmente continue e 

 ugualmente limitate (*) in (a, b), esiste per essa almeno una fun- 

 zione limite {necessariamente continua) (**). 



Sia 



\Z) Xi , X2 , ... , X,i, , ... 



una successione di punti di {a, b) uniformemente densi in tutto 

 l'intervallo (p. es. l'insieme dei punti razionali) e 



(3) Ei, 62, •••, € 



Il j 



una successione di numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero. 

 L'insieme numerico /j dei valori che tutte le funzioni /' assu- 

 mono in Xi ha almeno un punto limite (***). Considero il mag- 

 giore e lo indico con F{xi). Se k è un numero di cui rimangono 

 inferiori i moduli di tutte le f. è \F{xx)\-<:,k. Considero poi, 



(*) Ugualmente limitate =^ a tutte, in modulo, inferiori <(d un numero 

 fisso. 



{**) Questa diventa la proposizione dell'Ascoli^ sopra ricordata, suppo- 

 nendo che la W(f) sia una successione di funzioni. Nella forma generale 

 del testo fu dimostrato dall'ARZKr-À (Sulle serie di funzioni, '' Mem. Acc di 

 Bologna,, 1899-1900) con la tacita ammissione del principio della libera 

 scelta, che è appunto quanto qui si vuol evitare. 



(***) Se infinite funzioni di W ammettono in Xi uno stesso valore, 

 questo valore deve riguardarsi come punto limite di /|. 



