8 LEONIDA TONELU 



per ogni n, l'insieme W^ „ dì tutte le funzioni di IT che sod- 

 disfano alla disuguaglianza 



\f{x,)-F{x,)\^€n. 



Ogni Wi„ contiene necessariamente infinite funzioni ed è, 

 a sua volta, contenuto in tutti gli insiemi precedenti. L'insieme 

 numerico I2.., dei valori che le funzioni di ìì\„ assumono in 0^2 

 ha un insieme derivato /'2», contenuto in /'2.n-i; t> l'insieme l^.m 

 dei punti appartenenti a tutti gli 7'2,„ (che sono tutti chiusi) 

 contiene certamente degli elementi ed è, a sua volta, chiuso. 

 Il suo massimo lo indicherò con /^'(a-a) ( ! /^(a-g) ( < A-) ; e indi- 

 cherò poi con W2.n l'insieme di tutte le funzioni di TFi,„ che 

 .soddisfano la 



Ogni W2n contiene infinite funzioni ed è contenuta in tutte 

 le PTg.r precedenti, e se indico con /2„ una qualsiasi funzione 

 di TFg,,, è 



I f2n M — F{x,) I ^ e„ , j f^,, (.ro) — F{x2) | < €„ . 



E cosi si prosegua indefinitamente. Formo allora la suc- 

 cessione d'insiemi 



(4) w,,, w,2 n„,., ... 



Ogni suo insieme è contenuto nel precedente e contiene infi- 

 niti elenienti, uno qualunque dei quali /"„„ di TF„„ soddisfa alle 



(5) \f..Xxr) — F{x:)\^ €.. [r = 1. -J, ... n). 



Nello stesso mentre ho costruito sull'insieme (2) una fun- 

 zione F, sempre in modulo inferiore o uguale a k. Dico che F 

 e continua su (2). Siano .r^, x^ duo punti di (2) soddisfacenti 

 alla \Xr — ar.K^i dove il b è quello di cui si e parlato al n. 1. 

 .Sia n maggioro tanto di r (|ujiiil() di s. Tutte lo funvioni /'„„ 

 di Wnn soddisfano alhi 



