SUL VALORE DI UN CEUTO lUQIONAMENTO 9 



e (n. 1) alla 



I An (.-».•) — /n il (iC.s)l< e. 



E dunque, perchè n lo posso prendere grande quanto voglio, 



(6) |F(r.)-i^(r,)|<e. 



Così la i'' è continua su (2). Essendo poi quest'insieme uni- 

 formemente denso in tutto (a, h), posso definire la F su tutto 

 l'intervallo in modo che risulti ovunque continua. Così la (6) 

 risulterà soddisfatta per ogni coppia x' , x" di punti di (a, h) 

 soddisfacenti alla disuguaglianza \x' — .r"|<^ò. Dico ora che 

 la (4) converge uniformemente, su tutto (a, è), alla F{x). Siano 



Xi,<iXu<^ ... <Cxt,. 



dei numeri crescenti, estratti dalla (2), in modo che con essi 

 (a, h) risulti diviso in parti tutte minori di b. Preso poi un x 

 qualunque di (r/, è) e detto xt^ xi^^^ l'intervallo che lo contiene, 

 avviene che tutte le funzioni f^n di W^n soddisfano, se n è mag- 

 giore di tutti gli indici t^, t^^ ... f,, per il n. 1 e per le (5) 

 e (6) (quest'ultima estesa come sopra si è detto), alla 



■ \U.M - F{x)\-^\f.,.Xx) - U{x,} 1 + \f\xi:) - FixO 1 + 



+ I F(rO - F{x) I 



<2e4-e„ 



ed anche, per ogni n da un certo indice ni in avanti, 



I /•,,.,(«;) — J^(;r)|<3e. 



Poiché «1 è indipendente da x, la convergenza della (4) 

 alla F{x) è dimostrata, e il teorema enunciato risulta piena- 

 mente stabilito. 



3. — Sia ora una successione 

 d'insiemi di funzioni, definite in (a, è). Vogliamo dimostrare che 



