10 LEONIDA TONELLI 



òT le funzioni di questi insiemi sono tutte uguaìmente con- 

 tinue f ugualmente limitate in (a, b), la successione considerata am- 

 mette almeno una funzione limite (necessariamente continua). 



Consideriamo ancora le due successioni (2) e (3) del n, pre- 

 cedente, sia II, a l'insieme dei valori di tutte le funzioni di W„ 

 in a"i , e i',-. il suo derivato. Quest'ultimo è chiuso ed ha un 

 massimo. Il gruppo dei massimi relativi a tutti gli I\„ (n^l,2,...) 

 ha un massimo punto limite, che injilicheremo con F{xi). Sia Ui 

 il primo indice, maggiore o uguale ad w, per il quale qualche 

 elemento f„\{xi) di 7i„, soddisfa alla disuguaglianza 



|/-n,(arJ-FM|<€„. 



Indichiamo con W^,, l'insieme di tutte le funzioni di Tr„, 

 per le quali risulta soddisfatta la disuguaglianza precedente. 

 Abbiamo cosi una successione d'insiemi TV"i i , H'i/jj •••> ^^^«)--- 

 dove TF,„ è estratto da un W, di indice uguale o maggioro 

 ad n e dove ogni funzione fi„ di questo IFi,. soddisfa alla 



\fUxi)-I'M\ <€,.. 



Consideriamo l'insieme I^,, di tutti i valori finix^). e il suo 

 derivato 1'^.,. Il massimo punto limite dei massimi di questi 

 insiemi derivati indichiamolo con F{.r2). Se allora n^ è il primo 

 indice ^ n per il quale qualche elemento /'i„., di L>n. soddisfa alla 



\frn.M^)-F{x2)\^i,,, 



indicheremo con UV, l'insieme di tutte le funzioni di Wi„„ per 

 le quali è soddisfatta la disuguaglianza precedente. Avremo cosi 



la successione PFg, , W^^. ..., \]\^ dove W^„ è estratto da 



un insieme IFi,,. d'indice r^«, e dove, per tutte le funzioni f^^ 

 di TFsi., è 



E cosi via. Formeremo allora la successione 



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