SUL VALORE DI UN CERTO KAQIONAMENTO 11 



L'insieme W,,„ risulta una parte di un insieme Wr di in- 

 dice r > n , ed ogni sua funzione /"„,, soddisfa alle 



'UA^Ò — F{x,) I < €, [s = 1, 2, ... n). 



Proseguendo qui come al n. precedente, si giunge al ter- 

 mine della dimostrazione. 



4. — Una varietà di funzioni, definite in {a, b), la diremo 

 compatta se ogni successione d'insiemi di funzioni appartenenti 

 alla varietà ammette almeno una funzione limite, limitata in 

 tutto [a. h) (*). Vale allora la proposizione: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una varietà di 

 funzioni continue, definite in (a, b), sia compatta, è che tutte le 

 sue funzioni siano ugualmente continue e ugualmente limitate nel 

 campo detto. 



. Che la condizione sia sufficiente, risulta da quanto si è detto 

 al n. 3. Veniamo a dimostrare che è anche necessaria. Suppo- 

 niamo, dapprima, che le funzioni non siano tutte ugualmente li- 

 mitate. Potremo in tale ipotesi, formare la successione d'insiemi 

 di funzioni W^, PFo. ... comprendendo in W„ tutte le nostre 

 funzioni che in almeno un punto di [a, h) hanno il modnlo mag- 

 giore uguale ad n. La successione scritta deve avere, per la 

 definizione stessa di varietà compatta, qualche funzione limite, 

 limitata su tutto {a, b). E questo è impossibile, perchè, preso 

 un intero )ii convenientemente grande, esiste di certo una di 

 queste funzioni limiti di modulo < «i , ed esistono, di conse- 

 guenza, degli insiemi Wy^, di indice grande quanto si vuole, 

 che hanno delle funzioni le quali si mantengono in modulo 

 sempre inferiori a 2«i. il che contraddice alla costruzione me- 

 desima della successione W\, W^, ... 



Le funzioni della varietà, oltre che ugualmente limitate, 

 sono anche ugualmente continue. Infatti, in caso contrario, presa 

 una successione bi , Ò2 > ■■■, b„ , ... di numeri positivi, decrescenti, 



(*) Modifichiamo così la definizione di insieme compatto posta da 

 M. Fréchet, Skv qiieìqiies points du Calcici Fonctiomiel (' Rend. Ann. Mat. „, 

 Palermo, 1906). 



