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tendenti a zero, esisterebbe un e (ed anche infiniti altri) tale 

 che, per ciascun b„, si potrebbe trovare almeno un funzione /", 

 della varietà ed una coppia di punti x\ x" di {(i, h) soddisfa- 

 centi alle \x' — x"\<ò 



'!■ ) 



\Ux'}~Ux")\>e. 



Sia Wn l'insieme di tutte le funzioni della varietà conside- 

 rata, ciascuna delle quali, per almeno una coppia di punti sod- 

 disfacenti alla \x' — a;"|<ò,^, verifichi la disuguaglianza prece- 

 dente. La successione degli insiemi TF,, ammette, per ipotesi, 

 qualche funzione limite, necessariamente continua. Sia F{x) una 

 di esse e ò un numero tale che, per ogni coppia .r', x" di {(i,h) 

 che verifichi la \x' — a;" | < 8 , si abbia 



I F{x') - F{x"} < l . 



Ci sono infiniti insiemi TT',, che lianno almeno una fun- 

 zione f„ soddisfacente alla 



\Ux)-F(:x)\<l 



in tutto {(/, b). Per ogni coppia x\ x", tale che sia \x' — x"\<by 

 è allora 



\Mx')-Mx")\<e. 



Ora, quando n è abbastanza grande, in modo che sia b., <b. 

 questa disuguaglianza contraddice alla \fn{jc'} — /,.(•'? )|>f, ve- 

 rificata per almeno una delle coppie dette. Il teorema è dunque 

 dimostrato. 



5. — Al. n. 2. per diinosti'arc che ogni varietà ili funzioni 

 ugualmente continue e ugualmente limitate ammc^tte almeno 

 una funzione limite, abì)iaino effettivamente costruita una di 

 tali l'unzioni. II i)roce(liineiilo costruttivo dato là conduce ad uiia 

 funzione limite F{x} ben determinata e distinta da tutte le altre 

 che eventualmente potrelibero esistere. Per mezzo di questo pro- 

 cedimento si può dunque, in ogni caso, làr corrispondere ad una 

 varictii compatta ///; suo ente l;?nite. Se poi la vai-ietà e anche 



