SUL VALORE DI UN CERTO RAGIOMAMENTO 13 



chiusa (vale a dire, se contiene ogni sua funzione limite), lo 

 sfesso procedimento fa corrispondere alla varietà un suo elemento, 

 ed inoltre prova l'esistenza di una (almeno) successione di fun- 

 zioni, convergente ad una funzione limite qualsiasi delia varietà. 



6. — Fondandosi sulle proposizioni precedenti, si hanno le 

 altre seguenti: 



Una varietà di curve, per le quali esista una rappresen- 

 tazione analitica simultanea 



X =^ x{t) , u =z i/{t) , a^t^h 



con x(tj. y(t) funzioni ugualnieìite continue e ugualmente limitate 

 in (a, b), ammette almeno una curva limite. 



(Una curva C si dirà curva limite di una varietà W se, 

 preso un e arbitrario, esiste almeno una curva di W tale che 

 fra essa e la C si possa porre una corrispondenza biunivoca, 

 ordinata, continua, in guisa che due punti corrispondenti distino 

 fra loro per meno di e). 



Data una successione W^ , Wg, .., di insiemi di curve, le 

 quali si possano rappresentare analiticamente come al teorema pre- 

 cedente, esiste per essa almeno una curva limite. 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una varietà di 

 curve sia compatta, è che si possa trovare, per tutte le curve, una 

 rappresentazione analitica simultanea, come quella detta sopra. - 



Le prime due proposizioni si dimostrano immediatamente; 

 quanto alla terza, chi abbia letto i ragionamenti fatti qui potrà, 

 con non molta fatica, ritrovarle da sé, tenendo sott' occhio i 

 nn. 87-90 della Memoria citata del Fréchet. 



Si hanno poi i seguenti importanti corollari: 



Una varietà di curve, contenute in un campo limitato e tutte 

 inferiori in lunghezza ad un numero fisso, ammette almeno una 

 curva limite. 



Una successione di insiemi di curve, come le precedenti , 

 ammette almeno una curva limite. 



1. — Veniamo ora alle successioni minimizzanti, e per 

 chiarire bene le cose, prendiamo a considerare uno dei casi in 



