14 LEON' IDA TONELLI 



cui si è fatto USO del ragionauieuto classico, die si tratta di le- 

 gittimare. 



Sia, dunque, la funzione /('■// .r </') del Calcolo delle Va- 

 riazioni, definita in un certo campo (xi/) limitato e per tutte 

 le coppie x', y' soddisfacenti alle a;'- -f- //'-=;= 0, e sempre mag- 

 giore di zero, insieme al suo invariante di Weierstrass. Si debba 

 trovare il minimo dell'integrale / della /•'. esteso a tutte le 

 curve del campo detto che congiungono due dati punti. Si co- 

 struisca la successione di insiemi di curve 



TFx, 11-2 . ..., ir, 



'I > 



il cui termine generale TF„ sia composto di tutte le curve della 

 varietà data per le quali è 7< i '+ ? essendo i il limite infe- 

 riore di I sulla varietà stessa. Le curve di questi insiemi risul- 

 tano tutte, in lunghezza, inferiori ad un numero fìsso e, per il 

 n. precedente, W„ è compatto. Per la semicontinuità inferiore 

 dell'integrale della F{x) (*), una qualunque delle curve limiti di W 

 appartiene a W,, stesso. Questo insieme è dunque compatto e 

 chiuso e gli si può far corrispondere una sua curva C„ (n. 5). 

 La Ci, C2, ..., Cn. ... così definita è una successione mini- 

 mizzante. 



(•) Vedi L. ToNELLi, Sul caso regolare nel Calcolo delle Variazioni 

 e Rend. Gire. Mat. ,, Palermo, 1913). 



