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stituenti un gruppo. Ciò richiedeva anzitutto uno studio esau- 

 riente preventivo dei gruppi discontinui, quistione assai com- 

 plessa e difficile, che il Poincaré seppe risolvere colla teoria 

 dei gruppi da lui chiamati fuchsiani e kleiniani in omaggio ai 

 due illustri analisti tedeschi Fuchs e Klein. 



L'analogia colla teoria delle funzioni jacobiane lo portò poi 

 alla costruzione di funzioni che si riproducono a meno di un 

 fattore per le sostituzioni del gruppo, e che mediante i loro 

 quozienti danno luogo alle funzioni cosidette automorfe, che ri- 

 mangono del tutto inalterate per le stesse sostituzioni. 



L'importanza di queste ricerche è legata a due risultati 

 di fondamentale importanza nell'analisi e di una generalità 

 meravigliosa. Essi sono i seguenti : 



1" Mediante le nuove funzioni si possono rappresentare 

 gli integrali delle equazioni differenziali lineari, i cui coefficienti 

 sono funzioni algebriche della variabile indipendente. 



2° Le coordinate dei punti di una curva algebrica, me- 

 diante le stesse funzioni, possono essere espresse come funzioni 

 uniformi di un parametro. 



Il primo di questi risultati portava nel campo delle equa- 

 zioni differenziali lineari una luce analoga a quella portata dalla 

 teoria delle funzioni ellittiche nel problema della integrazione 

 dei differenziali irrazionali. Il secondo forniva all'analisi un 

 nuovo mezzo di ricerca nella teoria degli integrali abeliani. 



La immensa generalità di queste ricerche non permetteva 

 al Poincaré di entrare nei particolari di queste nuove teorie, 

 di cui egli tracciò con mano sicura soltanto le linee fonda- 

 mentali. Cosicché, a ragione, alla fine dell'ultima delle cinque 

 poderose memorie che riassumono questi studi negli " Acta 

 Matematica „ egli poteva concludere: " dans les cinq Manoires 

 que fai consacrées à l'étude des trascendantes fuchsiennes et klri- 

 néennes je n'ai fait qu'effleurer uu sHJet trh vaste, qui fournira 

 aux géoniHres l'occasion de nomhreuses et importantes d(kouvcrtes „. 



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Nell'analisi pura lo spirito di liccrca u in corto modo libero 

 d'innalzarsi dove meglio l'immaginazione e la generalizzazione 



