SISTEMI DI EQUAZIONI SIMULTANEE, ECC. 85 



3. — In mancanza di un mezzo diretto d'integrazione di 

 queste equazioni, conviene servirsi, per lo studio delle relazioni 

 che passano fra un certo numero d'integrali e delle loro deri- 

 vate, della rappresentazione geometrica seguente {^). 



Siano Xq, Xi, ..., x,^, n -\-l soluzioni linearmente indipendenti 

 delle equazioni date : per ogni sistema di valori delle k varia- 

 bili indipendenti t^, To. ..., t,. {n > lì) si possono assumere gli 

 n -\-\ valori delle x come coordinate proiettive omogenee di 

 un punto X in uno S„. Al variare delle t il punto x descrive 

 una varietà Vh che rappresenta il sistema di equazioni dato (o 

 meglio il gruppo di soluzioni da cui siamo partiti) (^). Poiché 

 le equazioni sono lineari ed omogenee, una trasformazione 

 proiettiva dello S,^ muta il gruppo delle n 4- 1 soluzioni scelto 

 in un altro pure di ?«-}-! soluzioni fra loro indipendenti ; sicché 

 interesserà ricercare quei caratteri della F,, che rimangono 

 inalterati per trasformazioni proiettive. In altri termini, possiamo 

 formulare, dal nostro punto di vista, il problema dell'integra- 

 zione così : 



Caratterizzare proiettivamente la Y „ cos) costruita per n 4- 1 

 soluzioni generiche. 



Mi sono proposto questo problema per le equazioni simul- 

 tanee a caratteristica di 2° e di 3° ordine. Fra i resultati otte- 

 nuti scelgo come piìi espressivi i seguenti: 



Le varietà che rappresentano k equazioni a caratteristica del 

 2" ordine (fra loro indipendenti) in k variabili, ed eventualmente 

 altre equazioni del 2^ ordine indipendenti dalle prime k, sono necessa- 

 riamente rigate con carattere di sviluppabile (cioè con spazio tangente 

 fisso lungo tutta una generatrice). Se la varietà V^ rappresenta 

 esattamente k equazioni a caratteristica, (cioè non altre dello stesso 

 ordiìie e da quelle indipendenti) essa è un cono di prima specie. 



Le varietà V;, che rappresentano m gruppi di tali equazioni 

 a caratteristica del 2"" ordine si compongono di rj:>^~"^ S„i aventi 



{") Analoga a quella comunemente usata per l'equazione differenziale 

 ordinaria, lineare ed omogenea; vedasi la Nota del Segre, Su una classe 

 di superfìcie degli iperspazii legate colle equazioni lineari alle derivate jjar- 

 ziali di 2" ordine [' Atti Accad. reale delle Scienze di Torino „, voi. XLII 

 (1906-1907), pp. 10471079]. 



(^) Questa Vk. potrebbe anche chiamarsi varietà integrale del sistema. 



