86 E. BOMPIANI 



lungo ogni spazio genpratore uno S* tangente fisso; se la V^ rap- 

 presenta esattamente (nel senso di prima) in gruppi di tali equa- 

 zioni è necessariamente un cono di specie ni. 



Se si considerano v equazioni simultanee a caratteristica 

 del 2" ordine, con v < k, occorre distinguere due casi che, per 

 ragioni che appariranno in seguito, si diranno parabolico e non 

 parabolico: nel primo caso, /e V^ che rappresentano esattamente \ 

 equazioni si compongono di oo*~^ coni ; nel secondo, si possono 

 anche caratterizzare le Vk geometricamente, ma in modo meno 

 semplice (cfr. n. 18). 



Se iniine insieme alle v equazioni del 2" ordine (nel caso 



, ,. , ., . (A- — via- — v+ 1) . . 



paral)olico) consideriamo ^ equazioni, pure a ca- 



ratteristica, del 3^ ordine, indipendenti da quelle (e non altre), 

 si ha nel caso più generale (e per maggiori dettagli cfr, il ij 7) 

 il risultato: 



Le varietà Vfc che rappresentano un tal sistema si compon- 

 gono di fX)''-'^ coni di prima specie aventi i loro vertici sopra 

 uno Sfc_v. 



4. — Una parola sul metodo. Come sarà mostrato (n. 7), 

 segue dalla definizione di equazioni simultanee a caratteristica 

 che, con un (eventuale) preliminare cambiamento delle variabili 

 indipendenti, i gruppi di termini contenenti in ciascuna equa- 

 zione le derivate d'ordine più alto possono considerarsi come 

 derivate di una espressione (identica per tutte le equazioni) 

 lineare ed omogenea nelle derivate prime della funzione incognita. 



Ottenuta questa forma del sistema di equazioni si procede a 

 caratterizzare la T/, del n. precedente facendo uso di due osser- 

 vazioni. La prima riguarda l'arbitrarietà della scelta di alcune 

 delle linee su cui variano le t st-paratamonte entro la ]\ : 

 l'altra riguarda le condizioni d'integrabilità, alcune delle quali 

 possono scriversi senza alcun calcolo e rivelano l'esistenza, entro 

 la Vn, di varietà caratterizzate proiettivamente (p. es. svilup- 

 pabili). L'arbitrarietà che rimano nella loro scolta (per effetto 

 della prima osservazione) determina la natura della T\. 



Risulta già da questo cenno quale sia il vantaggio delle 

 considerazioni geometriche sull'indagine puramente analitica: 

 prima pcrclM- non occorro scrivere tutte lo condizioni d'integra- 



