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quale l'integrale (jcnerale dere necessariaìnente ridursi con un oj)por- 

 tuno cambia nieìdo di variabili indipendenti . 



Però l'effettiva riduzione dipende dalla conoscenza di in- 

 tegrali particolari del sistema. 



§ 2. Generalità sulle equazioni a caratteristica. 



6. Locuzioni e notazioni. — Siano date r -{- 1 equazioni (fra 

 loro indipendenti) alle derivate parziali di una sola funzione 

 incognita lineari ed omogenee, di 2" ordine. Una soluzione delle 

 /• -f" 1 equazioni è pure soluzione d'ogni altra equazione che si 

 ottenga dalle precedenti con combinazioni lineari ed omogenee 

 (i cui coefficienti possono essere funzioni delle variabili indi- 

 pendenti). 



Un gruppo di r -{-\ equazioni, indipendenti fra loro, ottenute 

 con combinazioni lineari ed omogenee da quelle del gruppo dato 

 si dirà perciò equivalente a quest'ultimo. La totalità di tutti i 

 gruppi equivalenti ad uno dato si dirà sistema di equazioni ; il 

 sistema è perciò definito da uno qualsiasi dei gruppi di r -\- \ 

 equazioni indipendenti in esso contenuti; si dirà r la dimensione 

 del sistema ; 2 l'ordine {'). 



Diremo die un sistema è chiuso quando le equazioni dello 

 stesso ordine che da esso si possono ottenere per derivazione 

 ed eliminazione appartengono al sistema stesso. 



Le nozioni di sistema e di sistema chiuso sono invarianti 

 rispetto alle trasformazioni delle variabili. 



Analogamente, dati pi;i gruppi di equazioni di oidini diversi, 

 p. es. del 2" e del .'V', formeremo un sistema del terz'ordine as- 

 sociando al gruppo di equazioni del terz'ordine quelle (pure di 

 terz'ordine e fra loro indipendenti) che si ottengono derivando 

 le equazioni del 2" ordine. Diremo che il sistonni misto così 

 formato (cioè la totalità delle equazioni di 2" e di 3" ordine che 

 si possono ottenere combinando linearmente ed omogeneamente 

 le equazioni date e quelle ad esse associate) è chiuso quando 

 le equazioni ili '.)" e di 2" ordino che si possono trarre dal si- 

 stema con operazioni di derivazione ed eliminazione appartengono 



('') Mi pare utile di'Hiiin^ un sistema di equazioni diUoren/iali in questa 

 s -nso, per le stes.se niLfioni jum- imiì conviene jiarlarc di »/>ti:io di'linito ila 

 all'Uni suoi punti. 



