SISTEMI ni EQUAZIONI SIMULTANEE, ECC. 93 



8. — Le considerazioni precedenti, che ci hanno condotto 

 alhi scelta di una determinata forma per le equazioni di defi- 

 nizione di un sistema a caratteristica, permettono anche di di- 

 mostrare che : 



Un sisteìna chiuso a caì'citteristica è completamente integrabile. 



Poiché le nozioni di sistema chiuso e di sistema comple- 

 tamente integrabile sono indipendenti dalla scelta delle varia- 

 bili, possiamo ragionale sulla forma (1) delle equazioni che lo 

 definiscono. 



Le condizioni d'integi'abilità si scrivono eguagliando due 

 espressioni differenti delle derivate seconde di A=^ a-^'x^ ~\- 

 -\- ttox^ -f- ••• "h ^'hX^ che si possono trarre da (I); queste condi- 

 zioni sono equazioni di 2" ordine in x, che per definizione di 

 sistema chiuso appartengono al sistema stesso, o, in altre parole, 

 sono soddisfatte identicamente in virtù delle (l) stesse. 



§ 3. Sistemi di equazioni a caratteristica di 2 ordine 



di tipo parabolico. 



9. — Sia V = A'. Il sistema, necessariamente di tipo para- 

 bolico, si può scrivere, come s'è visto, 



x^^ + ttii.ri + ai2x2 -|- ... + ai,,.T'' + o^^x — 

 y .ri2 -f aoi.T^ 4- 0,2,7-2 -f- ... -f- Oa^.r''" + ago^; = 



'■',::;::::,:::;:::: 



\ x^^ + a;,ia-i + a;,.2.T2 -L ,,, X- a^nx^ ^- a,;„.r = . 



Consideriamo la varietà Vi, che rappresenta il sistema scritto 

 (nel senso del n. 3) e in un suo punto x la tangente alla linea Xj 



(cioè su cui varia soltanto Tj) definita dal punto x^ f= ^:^)- 



Al vai'iare di x su V,, varia questa taiìgente e se essa non giace 

 su ]'/c descrive una varietà a A- -[- 1 dimensioni V ,,^^\ se invece 

 questa retta descrive una 1"/: essa è- necessariamente la V,, 

 (descritta da un suo punto, .r). Pei- decidere quale delle due 

 eventualità si presenti basta cercare la dimensione dello spazio 



