94 E. BOMPIANI 



tangente {k -\- 1 nel primo caso, k nel secondo) alla varietà de- 

 scritta dal punto 



X = X -\- \x^ 



al variare di X e delle t. Esso è lo spazio di A' e dei suoi punti 

 derivati primi 



A", x\ x' 4- X.r»S a;2 -f- \x'K ..., x" + Xx»" 



cioè anche per le (I), quello dei punti x,x^,x-, ..., a:*, cioè un S^ 

 (quindi la ]\ è rigata); anzi, qualunque sia X, coincide con 

 lo Sk tangente a V^ in x. Riassumiamo queste osservazioni nel 

 teorema: 



Una Vfc che rappresenti k equazioni (indipendenii) a carat- 

 teristica del 2° ordine è necessariamente rigata con carattere di 

 soiluppahiìe (cioè con S^, tangente fisso lungo ogni generatrice). 



Ne segue che con un eventuale cambiamento della varia- 

 bile Ti la prima equazione del sistema (1) può scriversi: x^^ = ó. 



10. — Fino ad ora non s'è fatto uso della nozione di si- 

 stema chiuso definito dalle (I), cioè non s'è fatta alcuna ipotesi 

 relativa alla non esistenza di altre equazioni di 2" ordine (non 

 contenute nel sistema) alle quali soddisfino le .r. Supponiamo 

 ora (e cosi sempre in seguito, se non si avverta il contrario) 

 che il sistema sia chiuso, cioè completamente integrabile. 



Prescindendo dalla prima equazione x^^ = (che si ottiene 

 col cambiamento accennato) il sistema (1) si scrive : 



^'^ + Psi X' + hiX^ + ... -I- hk-^' + Pso.^ = 



(1) 



' x'* + (?„■'-•• + Pa2^' 4- ... + ^hkx" + P,o:r = 0. 



Applichiamo ora le due osservazioni di c-ui è parola al n. 4. 



11 sistema conserva la sua forma per un camltianiento dei 

 parametri T2, Tg t,, , del tipo: 



P« = P»(t2, ..., Th), p3 — PaCta, ...,T,), ..., p^ = P,(t2, ..., tJ 



