104 E. BOMPIANI 



p»fi(/ono di oo'' -'" S,„ ; se k = m la V,„ è uno S„, (*^) ; jjé! k = m -f- 1 r 

 ffli co ^ S,„ (jeneratori della V,„ j.^ sono osculatori ad una citroa (con 

 i casi degeneri) ; se infine k > m 4" 1 (caso generale) la Yk è un 

 cono di specie m (cioè i suoi spazii generatori passano per uno S>„_i 

 fisso). ♦ 



Per tutte le varietà tìnoia considerate in questo paragrafo 

 la W degli spazii tangenti ha dimensione 2k — in. 



11 resultato analitico contenuto nell' ultimo enunciato è il 

 seguente : 



Un integnde generico del sistema definito da m gruppi di 

 k equazioni a caratteristica completamente integrabile jniò sempre 

 porsi, con un opportuno cambiamento di variabili, nella forma 



X = Jo + Ti .-li -j- ... -j- T„,_i /!,„ .1 -f~ T,„C(t,„^i, T,„.,.2, ..., Tfc) 



(^0? •••? ^m-i. costanti) 



se k ]> ni f 1 ; se k = ni -f- 1 la forma a cui potrà ridursi è, in 

 generale, 



r = J(t.„^i) -]-Ti _ ^ 4- T2 -2 h ... + T,., „ - 



('o /a precedente). 



15. Osservazione. — A prescindere dal caso banale m=^k\ 

 dev'essere sempre m <C A-. Abbiamo visto (§ 4, n. 12) che la 

 ricerca delle Vk per cui la varietà degli spazii tangenti W ha 

 dimensione minore dell'ordinaria conduce a distinguere due casi: 



nel I" la K,, rappresenta più di —^^ equazioni del secondo 



ordine linearmente indipendenti ('•'); lo studio dei sistemi a ca- 

 ratteristica ci ha condotti a varietà che appartengono in gene- 

 rale al secondo caso : ora ci domandiamo quando le equazioni 

 fra loro indipendenti contenute negli m gruppi di k equazioni 



siano in immero ^ ~~ò ('" "i*^'^^^ <-''>'-■ i' 'oro studio non coin- 



cida con quello del primo caso). 



Poiché due gruppi debììono aver sempre un'equazione co- 



(") Pifi proprimnente iinii x° di .f m , cioè un mimerò discinto <li >'m . 

 ^"ì Skurk. 1. .-.. n. (»); n. 21; Tkuuacini. I. e. n. VI ('*). 



