106 E. BOMPIANI 



16. — Abbiamo finora considerato più gruppi di equazioni 

 a caratteristica, contenenti ciascuno k equazioni linearmente in- 

 dipendenti. Cerchiamo di trasportare questi resultati al caso in 

 cui le equazioni di ciascun gruppo siano in numero minore di k\ 

 e supponiauìo che le equazioni indipendenti siano v in ciascuno 

 dei gruppi. 



Diverse ipotesi si potranno presentare; dopo averle esposte, 

 prenderemo in esame la più semplice. Riprendiamo a questo 

 scopo le considerazioni del § 2, n. 7. 



Relativamente a ciascun gruppo di v equazioni (o al si- 

 stema da esso definito) esiste un iperpiano (caratteristico) fisso, 

 mentre l'iperpiano variabile da equazione ad equazione descrive 

 un sistema oo^^i al quale (essendo per ipotesi il sistema para- 

 bolico) appartiene l'iperpiano fisso. Se i gruppi di equazioni 

 sono ni, abbiamo così m sistemi co^"^ d'iperpiani; le posizioni re- 

 ciproche che questi sistemi d'iperpiani possono assumere nello S,, 

 delle variabili Ti , t., , ..., T;, sono le seguenti: 



1) non esiste una parte comune a tutti questi sistemi; 



2) esiste una parte comune a tutti questi sistemi; 



3) tutti questi sistemi coincidono. 



Quest'ultimo caso si presenta necessariamente quando v = A- 

 (cioè nell'ipotesi già studiata), perchè ciascun sistema si com- 

 pone di tutti gli iperpiani uscenti da uno stes.so punto. 



E quindi chiaro che se vorremo ottenere resultati analoghi 

 a quelli dei numeri precedenti, sarà appunto di quest'ultimo 

 caso che dovremo occuparci. 



Facciamo ancora qualche osservazione di carattere gene- 

 rale sulla forma che può darsi alle equazioni dei singoli gruppi 

 nei diversi casi che si presentano. 



Nel primo non si potrà, in generale, assegnare alle equa- 

 zioni date una forma più semplice di quella a cui conducono 

 le considerazioni del n. 7. 



Il secondo caso si può dividero in duo sottocasi, a se- 

 conda che : 



a) la parte comune a tutti i sistemi d'iperpiani varia- 

 bili non contiene tutti gli iperpiani caratteristici fissi di tutti 

 i gruppi di equazioni date ; 



h) la parto comune a tutti i sistemi d'iperpiani variabili 

 contiene tutti gli iperpiani caiatteristici fissi di tutti i grup])i di 

 equazioni date. 



