112 E. BOMPIANI 



contenuta entro il sistema è integrabile (col metodo di Laplace, 

 cioè) con quadrature, e quindi lo è il sistema stesso. 



Possiamo trovare effettivamente l'integrale del sistema. Le 

 condizioni d'illimitata integrabilità (fra loro indipendenti] si 

 scrivono : 



Tu = T22 ^^^ • •■ ^^ Tvv ^^ T 

 T i,v-M — T 2.v-f-i ! •••) I l,v^-l — I v,v4-i > ■■•i 1 v 1, v + i — T v.v-t-i 

 Tio V Ti,v4-i T = T , T20 I Ta.vj-i T = T". ..., Tvo ~r Tv.v-f-i T ^= T'- 



{^■ = n 



Le condizioni scritte in prima riga portano che la curva, luogo 

 dei vertici dei coni, è descritta dal punto 



x'^'*'^ — yx 



mentre quelle nell'ultima riga dicono che è nullo uno degli in- 

 varianti di ciascuna delle equazioni date. Se il punto scritto è 

 indeterminato, cioè se la varietà che consideriamo non è in 

 realtà una F'v+i, ma una Vv, si ha (trattandosi di coordinate 

 omogenee) 



x''^^ — yx = 0; 



cioè 



a; = ef>"^^'+'Z(Ti,T2,...,Tv) 



{ove X è simbolo di funzione arbitraria degli argomenti indi- 

 cati) è l'integrale generale del sistema. Escluso questo caso d'ec- 

 cezione, si riconosce (in modo del tutto analogo a quello che si 

 tiene per una sola equazione integrabile col metodo di Laplace) 

 che l'integrale è del tipo 



./• = fi;"'^'+.[A:(T,,...,Tv) 4- J }'(Tv4-i) ^'^;^">+''^'"'+- •;'-'+""".-/rf'-.4.)rfTv4-ij 



ma perchè questo possa soddisfare al sistema dev'essere ancora 



Ti.v f-i = i 1 (Ti), T2.V hi = ^ si'^'iU ••■ì Tv,v^■l = -i V (Tv). 



20. — l*er le ì\ studiate in questo paragrafo la VT degli 

 spazi tangenti ha dimensione ordinaria. 



