J l(ì E. BOMPIANI 



Fissiamo la nostra attenzione sui gruppo delle derivate 

 terze, ricordando il quadro soprascritto. Le derivate del tipo 

 a*-^'"{>«>>v) si possono, in virtii del gruppo (1). esprimere li- 

 nearmente per mezzo della x e delle sue derivate piime e se- 

 conde; nell'equazione prima del secondo gruppo pottnnno pei-ciì) 

 comparire i termini contenenti 



./•'•'•■. 



Anzi non vi potrà comparire di più altra derivata seconda 

 che Ih .r''+-i'^+i : perchè, secondo l'altra espressione trovata di 

 j,i.2.v-i-i.vf-i j^Qp figura in essa che la derivata terza .r2•^-l.v-^-l 

 (e, ripetiamo, facciamo l'ipotesi che x non soddisfi ad altre 

 equazioni di secondo e di terzo ordine non appartenenti al si- 

 stema misto (n. 6) definito da quelle scritte). Cosi intanto rico- 

 nosciamo che x^''^'^^'^^^ e combinazione lineare ed omogenea 

 delle sole 



r »•! »-2 .V ,V 1 1 .* /l.V-l ,1,'. ,.VJ-1,V + 1 



Dico di pili che in .(iv+i.v-f-i ,,qj, compariscono le derivate 

 x'* x"^. Infatti se vi fossero esse daiebhero origine (per de- 

 rivazione rispetto a ig) ai termini 



/■22 ,.23 ;.iV 



Ne questi possono venir eliminati dalla espressione di 

 jpi,2,v4-i.v4-i perchè le espressioni delle .r*'-'" (m > v) ricavate dalla 

 prima equazione di (T) non li contengono. 



Ma nella espressione di .,-i.2'''+->.v^-i i-jeavata derivando ./•'- 



essi neppure figurano: quituii x'^ x'^ debbono mancare in 



a;''^^''''^' che si può infine scrivere 



■' — Tv + i.v *-i.v + i •' T^ Tv 4-1,1, v-ii •' n^ ••• n^ 



"F^v-t-i, 1. *•'"'■ -f- Tv M V ■ 1 ■'' ' "T" ••• n''Tv (-i.fc •'" ~rTv ♦-1.1 ■'' "iTv'iO''"- 



Discutendo in modo aualdiio lo altre equazioni si vedo che. 



