SISTEMI DI EQUAZIONI SIMULTANEE, ECC. 121 



esso dev'essere uno S^^ ; cioè, tenuto conto delle relazioni pre- 

 cedenti, deve valere una relazione del tipo 



;jj233 _|_ nix^^ -\- nx^^ --[" P-^^^ 4' <l-v^ -\- >'^'^ + '"Ja;^ 4- tx = , 



equazione differenziale di terzo ordine cui deve soddisfare la x. 

 Il resultato può enunciarsi così: 



L' integrazione del sistema delle tre equazioni date e dell'ultima 

 scritta è equivalente all' integrazione di un'unica equazione di 3^ or- 

 dine del tipo: 



az^^^ + bz^^ -|- cz^-^ -f dz^ -}- ez'' + fz = . 



Per questa equazione si può costruire una teoria del tutto simile 

 a quella dell'equazione di Laplace. 



26. — Il sistema di v equazioni del 2° ordine e di una 

 del terzo si discute allo stesso modo del precedente. Le prime 

 V equazioni indicano che nella Vv^^ vi sono 00^ coni definiti 

 da TvH-i = cost. ; l'ultima indica (nell'ipotesi che non esistano 

 altre equazioni di 2° e di 3° ordine fi-a le x) che ogni rigata 

 entro la Fv+i ha indice di sviluppabilità ^:= 2 al massimo. 



Per un teorema già da me dimostrato p*^) queste r^-Hi si 

 compongono di 00 ^ coni aventi i vertici sopra una retta, ap- 

 partengono ad uno spazio di dimensione < 4. Quest'ultima ipo- 

 tesi è da scartare (si è già visto nel caso precedente). 



D'altra parte si verifica subito che una Fy-M composta 

 di col QQT^i aventi i loro vertici sopra una retta è integrale del 

 nostro sistema. Siano A e B due punti fissi che individuano la 

 retta dei vertici; C (T2, ..., tv, Tv^i) un punto preso sulla ge- 

 neratrice generica. Un punto x della Vv+i è delia forma 



■ j; = Ti (.4 + Tv|i B) -f C(t2, ..., Tv, Tv+t): 

 per esso si ha: 



./;!! = 0, :ri2 = 0, r^'' = 0, ./■1.V-+-1.V+-1 = 0, 



sistema di equazioni del nostro tipo. Riassumendo: 



n L. e. n. 4 r). b) n. 17. 



