12») E. BOMPIANI 



Se si applicano al solito modo le condizioni d'integrabilità 

 alle eqnnzioni di-l terz'ordine, si vede che in esse non possono 

 comparile che le derivate 



,4 .•I.V4-1 ,-lk ..l.VM.V-;-! .•l,V-t-l.V4-2 .-^.k.k 



cioè, poiché x^ = X, quelle equazioni si scrivono: 



Tutte le derivate seconde di A' si esprimono per mezzo di A' 

 stessa e dello sue derivate prime, linearmente ed omogeneamente: 

 altrettanto accade per le derivate successive di qualsiasi ordine; 

 cioè la varietà (A') descritta da A è uno .Su- 



8i verifica poi subito che se la (A'') è uno S,i la varietà ]\ 

 è del tipo voluto. 



Lo S/y{}i = k — -v) sia definito dai punti fissi ^o» -^v+-i, ••.. ^U; 

 un j)unto della nostra F^ rigata è del tipo 



k 



X :=Ti [Aq 4- yi. AiTi) -\- H (Tg Tv, Tv-M, T.). 



V + l 



Si ha 



,11 ,.12 ,.1V i\ . ,.1,V-H1 4 , , U A 



quindi 



^i.v-i.v+-i _()^ ,.i.v^i.v + 2 _o, ..., ./-i-v^i.* = 0, ..., ./■'.'•.'•• = : 



le X non soddisfanno in generale (cioè se le B sono scelte in 

 modo generico) ad alc-un'altra equazione non appartenente al 

 sistema individuato dalle precedenti. Hiassumendo: 



Le V/k integrali di un sisfcma di v equazioni del 2^ ordine 



e di — — — del 3° ordine, a i-nrutferisficrt, completa- 



ù 



mente integrabile, si compongono nel caso jni( generale (v e h 

 qualsiaìisi) di x*-v coni di prima specie aventi i loro vertici sopra 

 uno Sit-y. 



