128 E. BOMPIANI 



Si vede anche ins^ersamente che se hi varietà {=.) degli 



spazi 2 -tangenti a V^ ha dimensione --*'-— J" — 1 e se hi T''^ 



rappresenta il tiiinimo numero possibile di equazioni del terzo 

 ordine (-^) (senza che per essa si riduca la dimensione di IF), 



queste equazioni debbono essere in numero di — linear- 



mente indipendenti e sono necessariamente a caratteristica (nel 

 senso detìnito). Se alcune fra esse possono considerarsi ottenute 

 per derivazione da equazioni del secondo ordine e se il sistema 

 da queste individuato è di tipo parabolico, la V,, è caratteriz- 

 zata dai teoremi di questo paragrafo. 



§ 8. Sulle trasformazioni di un sistema di equazioni 

 a caratteristica di tipo non parabolico. 



30. — Uno dei capitoli piìi interessanti nella teoria della 

 equazione (di Laplace) di 2" ordine in due variabili indipendenti, 

 lineare ed omogenea, è senza dubbio quello delle sue trasfor- 

 mazioni: fra queste occupa un posto singolarmente importante 

 la trasformazione di Laplace per l'equazione di tipo non para- 

 bolico. Esiste una trasformazione analoga per i sistemi di equa- 

 zioni a caratteristica? Le considerazioni geometriche del n. 18 

 permettono di rispondere, negativamente, a questa domanda. 



La trasformazione di Laplace per un'unica equazione con- 

 siste in ciò: sulla superficie che la rappresenta esiste un doppio 

 sistema coniugato: le tangenti alle linee di un sistema nei 

 punti di una linea dell'altro formano una sviluppabile: il luogo 

 degli spigoli di regresso che co.s'i si ottengono è una superficie 

 che rappresenta pure un'equazione di Laplace con le stesse va- 

 riabili caratteristiche. 



Ciò ricordato riprendiamo la proprietà 2) contenuta nell'ul- 

 timo enunciato del n. 18 i-elativa ad un sistema di tipo non 

 parabolico, e poniamo per semplicità v l— 2. (ili So tangenti 

 alle G^ nei puijti di una Tv-, i sono osculatoi-i ad un;i curva: 



(*") Sf la 1';. rai)presenta qnalclie oquazioiR- del 2* onlirn-. vaimo prese 

 in considerazione le equazioni del 8" ordine ifrii loro indipendenti) cilene 

 ne ottengono jter ilt'riva/.ionc. 



