SULLA DIMOSTRAZIONE DELL' INTEGRABILITÀ, ECC. 133 



che indico con Si (f; a, b) ; mentre il limite inferiore dei valori (2) 

 è l'integrale supero che indico con S' {f; a, b). 



La f e integrabile in a"^6 se i due integrali sono uguali. 



3. — Se e è un numero compreso fra o e è si dimostra 

 facilmente che « 



(3) Si{f;a, b) = Si{f;a, e) + SAf;c, b) 



(4) S' if ; a, b) = S'{f; a, e) + S' (f ; e, b). 



Infatti gli integrali di f si possono ottenere anche dalle 

 somme (1), (2) relative ai soli gruppi di punti d che contengono 

 anche e, poiché se un gruppo non lo contiene, aggiungendovi e 

 si ottiene un altro gruppo che dà una somma (1) più grande e 

 una somma (2) più piccola che non il gruppo primitivo. 



Limitandoci dunque a considerare gruppi d che conten- 

 gono e, si vede che tanto la (1) quanto la (2) diventano la somma 

 di due somme analoghe relative agli intervalli ("e, c^b rispet- 

 tivamente. Quindi prendendo i limiti se ne deduce il teorema. 



Sostituendo nella (1) ad ogni w, il minimo M dì f in tutto 

 crb, e nella (2) ad ogni ni il massimo N, si ottiene immedia- 

 tamente il teorema del valore medio: 



(5) M{b — a) < Siif; a, b) < S' {f -, a, b) < ^(è — a) 



4. — Se dunque f è continua in tutto l' intervallo dato 

 esistono due numeri 0, 0' entrambi compresi fra e 1, tali che 



SAf;a,b) = {b- a)f[x -\- Q {b - a)\ 

 S' if; «, b) = {b- a) f[x-\-Q'ib- a)]. 



Allora in un punto qualunque x di a^b si ha 

 lìjn S^(f'"'y^~-^i^f''^'^^ = lim ^'(^'^'^^ = 



y^x y — ^ y=x y-^ 



= \ìmf[x + Q{y — x)]=f{x) 



