134 CINO POLI — SULLA DIMOSTRAZIONE, ECC. 



e similmente 



lixn S'{f;a,y)-S'{f;a,x) ^ jj^^ S'{f;x,y) _ 



f=» y — ^ y=x y — ^ 



1J=X 



Vale a dire che se /" è continua, tanto la derivata di 

 Si {f\ a, x) che quello di S' {f; a, x) rispetto ad x sono uguali 

 ad f. Dunque la derivata della differenza di queste due integrali 

 è nulla in ogni punto di crb. ossia questa differenza è costante 

 rispetto ad x. Ma 



S'{f;a,a) = S,if;a,a) = U 



dunque Si (/"; a, x) = S' [f; a, x) per ogni valore di x. 



Ho cosi dimostrato il teorema : Se in un certo intervallo è 

 data una fimzione reale continua, i suoi integrali infero e supero in 

 detto intervallo sono uguali, cioè la funzione data è integrabile ; e ciò 

 senza far uso del teorema di Cantor la cui comprensione esatta 

 offre non piccole difficoltà al giovane che inizia lo studio del 

 calcolo, ed appoggiandomi invece solo a teoremi fondamentali 

 che devono essere studiati in ogni corso, anche nel più ele- 

 mentare. 



Torino, 27 novembre 1913. 



