ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI ECC. 215 



tore alla V,, in un suo punto generico. (^) abbia dimensione 

 2k — /, ossia che la F,, verifichi un sistema di -— -^ — 2A- + l 



= -^5 h ^ equazioni lineari omogenee alle derivate par- 



ziali del secondo ordine (equazioni di Laplace) linearmente in- 

 dipendenti (^). Infatti, quando *sia soddisfatta questa ipotesi, 

 gli Sk tangenti alla Vk in punti infinitamente vicini (del primo 

 ordine) a un suo punto generico P, i quali S^. stanno nello 

 spazio osculatore alla V^ in F, tagliano lo Sj.. tangente in P 

 almeno secondo uno S^; e del pari si riscontra subito diretta- 

 mente come la W abbia dimensione non maggiore di 2k — l. 

 Tuttavia, per k > 2, affinchè abbia luogo questa proprietà, non 



è necessario che la Ffc verifichi un sistema di — - -\- l eq. 



di Lap. lin. ind.: cosi, per k = 3, si trovano già delle varietà 

 tali che la corrispondente W ha dimensione 5, mentre esse non 

 verificano che tre equazioni di Laplace linearmente indipendenti. 

 Anzi ho dimostrato in un altro mio lavoro (^) che tali varietà 

 sono necessariamente coni generici (la cui sezione iperpiana 

 generica non verifica nessuna equazione di Laplace). 



Si presenta pertanto il problema di determinare tutte le 

 varietà che offrono la particolarità indicata, senza che essa di- 

 scenda dal numero di equazioni di Lap. lin. ind. verificate dalla 

 varietà stessa; problema che, oltre che per sé stesso, ha inte- 

 resse anche per la seguente questione. Nella Nota citata più 

 sopra io ini sono occupato della determinazione di tutte le F,, 



(^) Cioè lo spazio a cui appartengono i piani osculatori nel punto stesso 

 alle linee tracciate sulla Vk, che passano per quel punto. 



(*) Intendiamo con questo di dire che le coordinate proiettive omo- 

 genee di un punto che descriva la Vk, espresse in funzione di k para- 



metri Tj, T^,...,Tk, sono soluzioni di uno stesso sistema di \- l 



eq. di Lap. lin. ind. Cfr. : a) Segre, Preliminari di una teoria delie varietà 

 luoghi di spazi, " Rend. del Gire. Mat. di Palermo „, t. XXX (1910), pa- 

 gine 87-121. V. il n." 21; h) Terracini, Sulle Vk che rappresentano più 



di equazioni di Laplace linearmente indipendenti, ibid., t. XXXIl, 



(1912), pp. 176-186. 



(5) Loc. cit. (*) h), V. il n." 4. 



