ALCUNE QUESTIONI SUGI,! SPAZI TANGENTI, ECC. 221 



apolare a questo, di dimensione ^ — ■ d>k — ^, dovrà 



quindi essere tale che un iperpiano sia, rispetto a tutte le qua- 

 driche del sistema, coniugato a tutti gli iperpiani per uno 

 Sfc_;_i dello Sk_ì. ambiente; cosicché, estratto da questo sistema 

 il massimo numero possibile di forme linearmente indipendenti, 

 la loro matrice jacobiana dovrà essere identicamente nulla, di 

 caratteristica k — l. E, poiché il ragionamento è invertibile : 

 Se una V,, ha da essere tale che la W abbia dimensione 



2k — l, e se la V,c deoe rappresentare d < ~~ ' -\-l — 1 equa- 



zioni di Lap. Un. ind., il sistema di forme quadratiche associate 

 a questo sistema di equazioni di Laplace ha un sistema lineare 



apolare, di dimensione — -^ d — 1 , Za cui matrice jacobiana (^^) 



è nulla, di caratteristica k — /, e viceversa. 



IL 



Alcuni sistemi di equazioni di Laplace 

 le cui varietà integrali sono coni. 



4. — In relazione col risultato finale del n." precedente, è 

 facile stabilire, quando siano fissati k e l, quale è il minimo 

 valore che può essere assunto da d. 



Intanto, se /= l, tra le forme associate alle equazioni di 

 Laplace rappresentate dalla V,; ve ne è una che contiene un 

 fattore lineare arbitrario, cosicché quelle forme sono almeno 

 c»^"^; e, se k > 2, sono proprio 00*^"^ quando e solo quando 

 esse contengano tutte uno stesso fattore lineare {^^); il che equi- 

 vale anche a dire che, in Si^_i, per k > 2, la massima dimen- 

 sione possibile di un sistema lineare di quadriche-luogo, tale 

 che la corrispondente matrice jacobiana sia nulla di caratteri- 

 stica k — 1, viene ra'^giunta quando e solo quando il sistema 



(^^) Dicendo che la matrice jacobiana di un sistema lineare è nulla, 

 con una certa caratteristica, intendiamo dire che è tale quella matrice per 

 un sistema di forme che serva a individuare quel sistema lineare. 



('^) Cfr., p. es., Bertini, Introduzione alla Geometria proiettiva degli iper- 

 spazi. Pisa, 1907, p. 2.3-2. 



