ALOUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 223 



Se la W relativa a una V^ ha dimensione 2k — l {0 <l<:.k) (^'^), 

 la Vfc verifica d>lk 9^"^ ^9.- ^^ Lap. Un. ind. Se l < k — 1, 



e d raggiunge il suo limite inferiore Ik — - — , il sistema delle 



quadriche associate a quel sistema di equazioni di Laplace è ne- 

 cessariamente costituito dalle V|_2 di Sk-\ che passano per uno 



5. — ■ In base a quanto abbiamo visto nel n.° precedente, 

 se / = 1 e se la F,,, {k > 2) soddisfa il minimo numero possi- 

 bile, cioè k eq. di Lap. lin. ind., assumendo coordinate proiet- 

 tive non omogenee x^. .X2, ... ., x„, e prendendo inoltre Tj = a^i, 

 T2 = a;2,..., Tfc = ,ì;fc, il sistema delle equazioni soddisfatto dalla 

 Vk si potrà supporre della forma : 



(3) 



a, X ^" + «2 a;"" + ... + a„ x^'"' = 

 a, x'-^" + a^ x'-'^ + ... 4- a,, x^''^ = 



Le a non saranno certo tutte nulle: non diminuiremo la gene- 

 ralità supponendo diverse da zero le prime p (p ^ k). 

 Ora dalle (3) segue subito : 



k 



V 



1=1 »=1 



(4) 5: <» :«'•■'' = V a^> x^">. {r, s=l,2,...,k) 



Ciascuna delle (4), in quanto non sia soddisfatta identicamente, 

 costituisce una nuova equazione verificata dalle soluzioni del 

 sistema (3), e dovrà perciò essere una combinazione lineare di 

 quelle equazioni. In tal caso, se m^p {m =\^ r, m=]= s), cosicché 

 «„j non è identicamente nullo, nella combinazione lineare delle (3) 

 per cui si esprime una equazione (4) relativa a certi valori di r 



(^■*) Se Z = A; — 1, oppure l^=k, sarà certo d ^= ]- l. Perciò 



questi due casi (che conducono rispettivamente a Vk di uno Sk+i oc^ 

 di Sh-i sviluppabili ordinarie, e a 8%) saranno esclusi nel seguito del 

 lavoro. 



