228 ALESSANDRO TERRACINI 



7. — In seguito avremo occasione di servirci del fatto che 

 un risultato analogo a quello stabilito alla fine del n." 5 continua 

 a sussistere anche quando si consideri una ì'k che rappresenti 

 un sistema di equazioni di Laplace ottenuto da un sistema di k 

 equazioni le cui forme associate contengano uno stesso fattore 

 lineare, quando ad esso si aggreghino delle altre equazioni di 

 Laplace, purché in numero convenientemente limitato. 

 Precisamente dimostreremo il seguente teorema: 

 Se una Yu (^ > 3) rappresenta mi sistema di rf < 2A- -- 3 

 equazioni di Laplace linearmente indipendenti, ed entro quel si- 

 stema ve ne t' uno oo ~' di equazioni le cui forme associate con- 

 tengono uno stesso fattore lineare, quella V^ è un cono proiettante 

 da un punto una V^-i rappresentante d — k equazioni di Laplace 

 linearmente indipendenti; e viceversa {^^). 



poste di serie semplici razionali di piani, ' Atti della R. Acc. flelle Scienze 

 di Torino ,, voi. XXI (1885\ pp. 95-115; e Bkktini, op. cit. ('»), y. 321. 

 Per k qualsiasi, delle proposizioni che comprendono questa come caso 

 particolare si trovano in Tantuhri, Sopra una proprietà delta superficie 

 di Steiner e sue estensioni agli spazi superiori, " (ìiorn. di Matematiche ,, 

 voi. XLV (1907), pp. 291-297, e in Scokza, Sopra una certa classe di va- 

 rietà razionali, " Rend: del Gire. Mat. di Palermo ,, t. XXVIII (1909), 

 pp. 400-401. 



(*') Si osservi che se fosse rf >> 2^• — 3, non solo non sussisterebbe più il 

 ragionamento che faremo in seguito, ma cesserebbe di sussistere la propo- 

 sizione stessa. Si consideri, p. es., in uno spazio abbastanza ampio, una Vk 

 luogo delle rette che incontrano una curva e una Vk-2 generiche e in 

 posizione mutuamente generica. Come equazioni parametriche della l'k si 

 potranno assumere le seguenti : 



X = A (tj) t, -f B (t3 , T4 . ... , Tk) ; 



cosicché la Vk verifica le 2k - 2 equazioni di Lap. lin. ind.: 



i x<"' =0,.r<'-'= ^ ar'2);ar"-»=a:'"'= ... x<'*' = 0; 



f a:»") = x<"> = ... = a:<»*' = ; 



di cui le prime k hanno precisamente le forme associate contenenti uno 

 stesso fattore lineare. Sani poi : 



"" dr\ ' 



a;'""» = /yi-") ; (m, n = 3, 4. ... ; k); 



cosicché, se la Vk verificasse delle equazioni di Lap. che non fossero com- 



