ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 229 



Supponiamo infatti (fatte sul sistema di coordinate e sulla 

 scelta dei parametri le stesse ipotesi che al principio del n.° 5) 

 che una V^. verifichi un sistema di d <2k — 3 equazioni di 

 Laplace linearmente indipendenti, tra cui vi siano le k equa- 

 zioni (3). Operiamo su queste k equazioni come si è fatto nel 

 n."' 5 fino a dedurne le (4), che dovranno pure essere verificate 

 dalla Tfc. Orbene, nelle nostre ipotesi, le forme quadratiche asso- 

 ciate alle equazioni (3) e a quelle tra le (4) che non sono iden- 

 ticamente soddisfatte, e perciò anche le quadriche associate a 

 quelle equazioni, dovranno apparteneie a un sistema lineare di 

 dimensione ■^2k — 4. Ora le equazioni delle quadriche asso- 

 ciate alle (4) si ottengono annullando i singoli determinanti di 

 2° ordine della matrice: 



(6) 



t=l t=l i=\ 



mentre le quadriche associate alle (3) sono tutte quelle che con- 

 tengono l'iperpiano ^aiQi=: Q: pertanto la dimensione del si- 



»=L 



stema lineare che le quadriche associate alle (4) segano suH'i- 



k 



perpiano 2 ^^ ^i = ^ dovrà essere < A- — 4. Facciamo ora nello 



1=1 



Sk-i [9] la trasformazione di coordinate (di determinante non 

 nullo poiché «i =i= 0) : 



P 0l = S «i 9; , 



pe; = e, ; {j = 2/ò,...,k} 



e indichiamo con Bi, B^, ecc., le espressioni assunte dalle 



Ti k 



forme lineari ^ al'^ 9, , ^ «1^* 9» » ^cc, scritte nelle nuove coor- 



1=1 i=l 



binazioni lineari delle 2k — 2 soprascritte, dovrebbe passare qualche rela- 

 zione lineare omogenea tra 



il che contraddice alla ipotesi che la curva e le Vk-2 direttrici della Vk 

 siano state scelte in posizione generica. 



