232 ALESSANDRO TERRACINI 



8. — Supposto l > 1, la ricerca analoga a quella compiuta 

 al n.° 5 per / =: 1 si può agevolmente ricondurre ai risultati 

 già ottenuti mediante il seguente. teorema, che troverà pure ap- 

 plicazione nell'ultima parte di questo lavoro. 



Se una Vk e la sua sezione iperpiana generica Y\_i ammet- 

 tono in un loro punto (jenerico degli spazi osculatori le cui dimen- 

 sioni siano rif<peff iva mente m e uu', affinchè sia uu' < uj — le ne- 

 cessario e sufficiente che si presenti uno dei due seguenti casi: 



(A: -!)(* + 2) 



a) uu' raggiunge il massimo valore possibile cioè 



2 



mentre wì soddisfa alla condizione ^ h -<iu< — . 



yfc (/k -4- 3) 

 b) La Vfc soddisfa a un sistema di d = ^ tu eq. 



di Lap. Un. ind. tale, che la matrice jacobiana delle loro forme 

 associate è identicamente nulla, di caratteristica k — (uu — uu' — 1). 

 Sia infatti tt^ lo S^ tangente in un punto generico P della ]\, 

 e sia TT'fc_i uno S^-i generico passante per P e giacente in h; 

 consideriamo poi gli iperpiani a generici passanti per tt',,_i (e 

 perciò, in quanto sono generici, non contenenti ulteriormente 

 nessun punto di tt^), e la figura O (come luogo di punti) costi- 

 tuita dalla totalità dei piani che osculano in P la T\.. secondo 

 una tangente variabile contenuta in tt\._, (figura che sarà co- 

 stituita da una totalità algebrica di S^ ^ \ passanti per tt^. e quindi 

 anche per tt',;_i) (-■^). O viene tagliata da ciascuno degli iper- 

 piani a nella totalità dei piani osculatori in Palla !',._, sezione 

 della Vk con a, totalità il cui spazio di appartenenza è per ipo- 

 tesi uno S(,y; quindi lo spazio di appartenenza della O è uno 

 S(j'^i. La ì\ dovrà essere tale, che i piani ad essa osculatori 

 secondo tangenti contenute in uno .SV_i tangente generico in F 

 stiano in uno S(.y i- i; e viceversa quest'ultima proprietà importa 

 che lo spazio osculatore a una seziono iperpiana generica della ]\, 



(*^) Cfr., p. es., BoMi-iAM, .Sopra alcune e.^tt'Hxiutii dei teontni di Mfu.snirr 

 e di Kulero, ' Atti (Udla R. Accad. di Torino ,, t. 4H (1913'. pp. 693-410, 

 V. il n.° 2. 



I piani osculatori a una l\ secondo una sua tangente litMiipiono uno Sk 

 anxichè uno 5ji+, solo quando la Vk ò uno .S*: quindi in tale ipotesi e 

 anche se si supponesse w' = k — 1. il rapionnnionto rhc sefjue esiffcrelìlx* 

 delle modificazioni, ma evidentemente si avrebbe allora ui^uj'-}-]. 



