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ALESSAN'DKO TKKHACINI 



eq. di Lap. lin. ind.; anzi preoisamente tante e non più, poiché 

 (cfr. il teorema del n.** 8) il sistema delle quadriche associate 

 alle equazioni soddisfatte dalla F^. è attualmente tale che la 

 sua matrice jacobiana non è identicamente nulla; mentre, d'altra 

 parte, il luogo degli S^-^ tangenti a quella V\_i ha dimensione 

 2k — l — 1 = 2 (A- — 1) — [l — 1). Cosi continuando si trova 

 che la varietà di k — l -\- \ dimensioni, sezione generica della Fk 

 con uno S,^_ij^y, verifica un sistema di k — l -\- \ eq. di Lap. 

 lin. ind. e ha una TF di dimensiono 2{k — l -\-V) — 1 , ed è 

 perciò un cono (cfr. il x\.^ 5): tanto basta per concludere che 

 la Ffc è uno S,_i — cono generico. Quindi possiamo completare 

 il teorema finale del n,° 4 nel seguente modo: 



Se la W relatioa a una V^ ha dimensione 2k — l {0 < l < k — 1), 

 e la Vfc verifica il sistema di minima dimensione di equazioni di 

 Laplace compatibile con tale ipotesi (sistema la cui natura è indi- 

 cata dal teorema finale del n° 4), la V^. è uno Si_i — cono gene- 

 rico (cono proiettante da uno Si_i una Y^-i che non verifica nes- 

 suna equazione di Laplace) e viceversa. 



III. 

 Alcune proposizioni ausiliarie. 



10. — Oggetto di questo terzo capitolo è la determina- 

 zione delle Ffc che soddisfanno a certi particolari sistemi di 

 equazioni di Laplace: i risultati ai quali giungeremo troveranno 

 applicazione nella Nota li. 



Consideriamo gli operatori difi"erenziaji (-') : 



jU=^^a,r-^ (Y=l,2,...,y>) 



con 2 <,p^k, le a essendo funzioni delle t tali che la matrice: 



(7) 



(I 



11 



a 



12 



''21 ^l2i 





a 



t'i 



a 



;'2 



a 



pK 



(^) Per tutto il capitolo sottintenderemo che le lettere variabili iiji- 

 poste ai simboli «li sommatoria, senza ulteriori indicazioni, variino da 1 a k-. 



