ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 235 



non sia identicamente nulla; e proponiamoci di determinare 



una V^ che verifichi il sistema di ^ -^ — eq. di Lap. (tra loro 



linearmente indipendenti, poiché la matrice (7) è diversa da 

 zero) : 



(8) A„,AiX-{-^gi,,„.x^'''-\-g,,„x = {l,ni = ì, 2, ...,p \ l ^m), 



r 



ma non verifichi nessun'altra equazione di Laplace che non ne 

 sia una combinazione lineare. Le (8) hanno un significato geo- 

 metrico molto semplice: per ogni punto della V^ integrale {-°) 

 esiste uno Sp{2^p^k) luogo di tangenà a contatto tripunto, 

 lo Sp delle tangenti individuate da : 



c?Ti : dr^ : ... : ^T;, =- cm : aio : ... : fìik (Z = 1, 2. .... 2^)- 



Orbene, dimostreremo che, nelle nostre ipotesi, quegli S^ stanno 

 sopra la F^, cioè che la F,; è una oo*=~p di Sp. 



Stabiliremo anzitutto che quegli Sp inviluppano un sistema 

 oo''~'' di Vp] da questo fatto seguirà poi facilmente la propo- 

 sizione accennata. Osserviamo che tra le equazioni verificate 

 dalla Ffc ve ne è, per ogni valore di ^ e di m, entrambi minori 

 uguali a p, una della forma (8), anche a prescindere dalla 

 limitazione posta di sopra l<,m, che aveva il solo scopo di 

 assicurarci della indipendenza lineare delle equazioni (8) sopra 

 scritte; e osserviamo anche che, applicando uno qualsiasi degli 

 operatori A al primo membro di una equazione (8), si ha per 

 risultato zero. Quindi sarà : 



A,, {A-,-„AiX + i:^(,H.^"' -j- gi,n^) = A,„{A„AiX + L^(h,.ìc<'-' + gi>.x) 



r r 



{l,m,ti= l,2,...,p). 

 Ora, a riduzioni fatte, i termini di questa nuova equazione con- 



('^) Per questa proprietà, che del resto si verifica subito direttamente, 

 cfr. C. L. MooRE, Surfaces in Hyperespuce lohich hare a tangent Une ivith three 

 point contacts throtigh each point, " Bull, of the American Math. Soc. „ (2), 

 voi. 18, 1912, V. la p. 287. 



