238 ALESSANDRO TERRACINI 



sarà inviluppato precisamente dagli Sp luoghi delle tangenti 

 tripunte pei singoli punti della V^. 



Eseguito ora il cambiamento di variabili (che. se non fosse 

 invertibile, si potrebbe certo rendere tale mediante una oppor- 

 tuna permutazione tra le t') : 



t:=F,(t) (i= 1,2,..., A: -79), 



■^i = Tj (j = k—j)-{-l, ..., k) , 



.su ciascuna delle V^ (12) variano solo gli ultimi j) parametri 

 del nuovo sistema: se indichiamo ancora con Tj, tg, ..., t^. 

 anche i nuovi parametri, la V,. verificherà un sistema della 

 forma : 



(13) a;<'"'> H- ^ .</,„„a:"» + g^,n x=zO (/,m = A- — p-j-l, ..., k). 



r 



Poiché tutte le equazioni di Laplace rappresentate dalla V^ de- 

 vono essere combinazioni lineari della (13), sarà: 



gimr = {l, m = k—p-\- 1, ..., k: r = 1, 2, ...,k~p) 



(come si vede paragonando le diverse espressioni che da queste 

 equazioni si ricavano per una stessa derivata terza). Ciascuna 

 delle Vp su cui variano solo t,. _p , ,, ..., t^ rappresenta adunque 



^ J~ equazioni di Laplace linearmente indipendenti, ed è 



perciò uno Sp-. la V,; è luogo di .S'^. Viceversa una Vk luogo 

 di Sp verifica precisamente un sistema della forma (8); e, se è 

 generica, non verifica ulteriormente altre equazioni. 



Concludiamo dunque: 



Nell'ipotesi che la matrice (7) non sia identicamente nulla, 

 una Vfc rappresentante tutte e sole (**) le equazioni dì Laplace di 

 un sistema del tipo (8), K per 2 ■^p'^k. una generica oo*"'' di Sp, 



(**) Qui, e in seguito, parlando di un sistema di cfniazioni di Laplace, 

 inti-ndiarao che il siuti-raa non comprenda solo quelle equazioni che servono 

 a definirlo, ma anche tutte le loro combinazioni lineari. 



