ALCUNE QUESTIOMI SOGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 241 



rificheranno ^ "^^ eq. di Lap. lin. ind., ossia saranno degli Sp^. 



Concludiamo dunque: 



Se una V^ ammette in ogni suo punto generico P uno Sp, , 

 uno Sp,, ecc. luoghi di tangenti t ripunte, linearmente indipendenti 

 nella stella di centro P, con \ < p^^ < h, 1 < p2 <C ^> «ce, e 

 pi -\^ P2 -\- ■•■ ■^Ji'! mentre la dimensione dello spazio osculatore 



m P non e minore di -^-z 2 — 2 — •■' 



(ossia, se una Vt verifica tutte e sole le equazioni di Laplace di 

 un sistema Z ottenuto dalla riunione di varii sistemi (8) dove sia 

 rispettivamente p = pi, p=p^^ ecc., colle limitazioni sopra dette 

 per 2?i, Pi, ecc., e se i pi -{- p^ -\- •■• operatori differenziali che de- 

 finiscono il sistema Z sono tra loro linearmente indipendenti), 

 quegli S^,,, Sp,; ecc. giacciono necessariamente sulla V^.. 



Si supponga ora, ferme restando le altre ipotesi fatte sin 

 qui, che il sistema Z sia costituito da due soli sistemi (8), es- 

 sendo ^i -[" ^^2 =^ ^- Allora si potrà con un'unica trasformazione 

 di parametri (invertibile, cfr. più avanti la nota (^^j) ridurre 

 a una forma analoga alla (13) ciascuno di quei sistemi (8), co- 

 sicché il sistema Z diverrà: 



x^''' + 2 gur 01^'-^ 4- ^« ^ = {h,l = \,2,..., py) 



r=l 



f a;'^" 



a:'^"' -f- V g,,^, x^"^^g,n>. a; = (m, n= p^+ \, ...,h). 



Consideriamo uno Sp, della F^. (definito dai valori di Tj , Tg , ... , t^,,) : 

 per ogni suo punto passa uno /Sp, della Vy. e perciò, siccome 

 lo <9p, e lo Si,„ uscenti da un punto generico della Ft non hanno 

 ulteriormente alcun punto in comune, gli Sp^ della T'^ incidenti 

 a quello Sp^ sono ooP', cioè oo*-pi, e ricoprono una varietà 

 di dimensione k, che noi (conformemente a quanto abbiamo 

 detto nella nota {^^)) potremo ammettere abbracci tutta la 

 Fj.; cosicché uno -Sp, e uno Sp.^ risulteranno sempre tra loro 

 incidenti. 



D'altra parte pi -{- ì Sp, generici della oo*-''^ sono tra loro 

 linearmente indipendenti; poiché, se ciò non avvenisse, non sa- 

 rebbero tia loro linearmente indipendenti uno Sp^ generico e 



Atti della R. Accademia — Voi. XLIX. 16 



