ALCD>^E QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 245 



ossia: 



S A, (t.') 5„ (t;) ^^^, ^ ; (1=1, ,..,p;u = 1, ..., q) 



cosicché delle derivate seconde delle x rispetto alle t' compa- 

 riranno nelle equazioni del sistema soltanto quelle, in numero 

 di pq, in cui la derivazione è fatta rispetto a uno dei primi p 

 e a uno degli ultimi q parametri. Dalle equazioni del sistema 

 si potranno certo ricavare queste pq derivate espresse linear- 

 mente nella x e nelle sue derivate prime; e perciò, scrivendo 

 ora per semplicità t al posto di t', al sistema (17) potremo so- 

 stituire il seguente: 



(17') a;<'"' = i:/",„,^'^' + /',„^ {l==l,2,...,p;ti=p+ì,p^2,...,k). 



r 



Ora, poiché tutte le equazioni di Laplace rappresentate 

 dalla Ffc, e in particolare quelle che si ottengono dalle prece- 

 denti paragonando le diver.se espressioni di alcune tra le deri- 

 vate terze delia x, devono rientrijre nel sistema ora scritto, si 

 ottiene facilmente : 



fiuT = ser=l=^, r=j=w; 



/"lui = Uuz = ... =fpup {u=p -\- \,p-{- 2, ..., k) 



fl,p+l,p+[ =^ fl,p+%,p+2 = ... = /!,fc,fc (t = 1, 2, ..., p). 



Il sistema precedente è dunque della forma : 

 «;""'-= Tu ^"' -f T.^'"' + fn^ (^= 1, 2, ...,p; u=p + 1, ..., k). 



Di più, il fatto che la F^ non può verificare equazioni lineari 

 omogenee del primo ordine porta alle condizioni : 



ì 1 1 mu I / lu ìììi/lul / '"U 1 



TÌ!' = T»T; +/"„ }{l,ìn=ì,2,...,p',ii=p-\-ì,...,k); 



I l Im 



(18) 



TÌ"' = T^Tu -f fiu ]l = l,...,p;u,v = p-{-l,...,k); 



I u I r 



