248 GINO POLI 



Sugli integrali estesi al contorno di un campo qualunque- 



Nota di CI NO POLI. 



1. — In questi ultimi anni molti teoremi del calcolo infi- 

 nitesimale hanno acquistato una semplicità e generalità vera- 

 mente notevole per merito della nuova definizione di integrale 

 dovuta al L(^besgue. 



Vi sono però ancora alcune parti che non ne hanno ritratto 

 finora notevole vantaggio in qnesto senso : tali ad esempio i teo- 

 remi sulla trasformazione degli integrali mnltipli. Essi infatti 

 sono dimostrati rigorosamente solo facendo ipotesi assai restrit- 

 tive sulla natura dei contorni dei campi che si considerano. 



[n questa nota mi propongo appunto di fare mio studio 

 dettagliato della costituzione dei campi più generali e dei rela- 

 tivi contorni per mostrare in qual modo si possano porre in 

 essi i problemi al contorno, ed estendeie infine le definizioni 

 degli integrali curvilinei e superficiali in modo che valgano 

 ancora le formole di Gauss e di Green. 



2. — Nello spazio a n dimensioni. H,, (cioè nella classe 

 delle disposizioni con ripetizione di tutti i numeri reali ad ìi 

 ad w) chiamo sfera di centro x e raggio a>0 che indico con 

 (S{x,a) l'insieme dei punti di S„ la cui distanza dal i)unto x è 

 minore di a. 



Dato un insieme n di punti di .S'„ dico che x P idi />itnfo 

 interno di u se esiste uva sfera di centro x e ragijio noti nullo 

 contenuta in u, cioè se esiste un numero a>(> tale che tutti i 

 /tanti tli S„ distanti da x tneno di a appartengano ad u. 



Il concetto di punto interno è dunque strettamente legato 

 al numero delle dimensioni dello spazio in cui si considera il 

 gruppo dato. Esso è stato introdotto per la prima volta da 

 G. l'eano nel 1880 per .S, e da 0. Jordan nel 18!»:i per Ng, ed 

 è di fondamentale importanza per la definizione matematica del 



