SUGLI INTEGRALI ESTESI Al, CONTORNO, ECC. 249 



concetto intuitivo di porzione continua di uno spazio. Poicliè 

 quando penso p. es. un pezzo continuo di piano la prima pro- 

 prietà che vedo è che ogni suo punto è interno, tranne quelli 

 del contorno che posso attribuire tanto al pezzo considerato che 

 al rimanente. 



Quindi chiamerò campo aperto di 8,^ un gruppo di punti di 

 S,i, foì^mato di soli punti interni. Quando non vi sia luogo ad 

 equivoci tralascerò l'aggettivo aperto. 



Se il campo aperto u non esaurisce l'intero spazio, i punti 

 non appartenenti ad esso si distinguono in due categorie: quelli 

 esterni ad u, che sono centri di sfere non contenenti nessun 

 punto di u, e quelli del contorno di u che sono i punti x tali 

 che qualunque sia il numero a >> 0, G (a;, a) contiene sempre dei 

 punti di u e dei punti non di u. 



L'insieme dei punti esterni ad u forma pure un campo 

 aperto e il cui contorno è contenuto in quello di u. 



Se u non coincide con S^, ma è illimitato, cioè non esiste 

 un punto X e un numero a > tali che (x, a) contenga tutto u, 

 i punti esterni possono mancare ma esiste almeno un punto del 

 contorno. 



Se u è limitato esistono anche punti esterni : precisa- 

 mente sono tali di certo tutti quelli esterni alla sfera che rac- 

 chiude u. 



Ogni punto interno è punto limito di punti interni, quindi 

 ogni campo aperto u è condensato. Un punto limite di punti 

 del contorno appartiene necessariamente al contorno il quale 

 è dunque chiuso. Infine l'insieme di n e del suo contorno è 

 perfetto. 



3. — Teorema. — Un campo aperto si può determinare in 

 infiniti modi come l'insieme dei punti interni a una successione di 

 sfere (^). 



Dm. — Dato il campo aperto «. per ogni suo punto x chiamo 

 sfera inscritta in u, che indico con o{u[x), quella che ha per 

 raggio il limite superiore l dei raggi delle sfere di centro x e con- 

 tenute in u. Essa è pure tutta contenuta in u, poiché se «/ è un 



(*) Per brevità di linguaggio invece di classe numerabile (finita o no) 

 userò sempre il vocabolo equivalente successione. 



