250 GINO por,i 



punto qiialunqiio di c {u: x) dista da x meno di /, sia / — e, 



quindi è interno alla ix, l ^j che è contenuta in u. 



Scelto Ola un qualunque gruppo numerabile di punti denso 

 in u, l'insieme dei punti interni alle sfei-e inscritte coi centri 

 nei* punti di quel gruppo esaurisce il campo ii. Por fissare le 

 idee considero l' insieme dei punti di a che hanno coordinate 

 razionali. Basta dimostrare che un qualunque punto y di u è 

 contenuto in una (5 {h\ x) dove x è razionale. Detto infatti ìi il 

 raggio di a {u\ y) esiste un punto razionale x distante da y meno 



di A- < T7 pei" cui // è contenuto in cr (.r. A;), la quale a sua volta 



essendo contenuta in a[ii:y) sta tutta in ii e quindi in o{u;x). 



Con ciò rimane dimostrato il teorema enunciato in principio. 



E.sso dà anche il modo piìi generale di costruire gli in- 

 siemi chiusi osservando che l'insietne del punti non appartenenti 

 a un qualunque insieme chiuso è mi campo aperto. 



Poiché se V e un insieme chiuso e u è l'insieme dei punti 

 non di e, ogni punto di // non può essere limite di punti di r 

 ed è quindi centro di una sfera contenente soli u. 



Dunque oyni insieme chiuso di S» si ottiene toyliendo da S„ 

 i punti interni a una successione di sfere (^). 



In S'i, cioè sulla rotta, le sfere diventano segmenti senza 

 estremi e il più generale campo aperto è costituito dai punti 

 di una successione di segmenti che si possono suppoire senza 

 punti intei'ni comuni, poiché due segmenti che abbiano un punto 

 interno comune costituiscono un unico segmento. 



I punti di un campo u di S„ che stanno in un dato spazio 

 di minor dimensione, cioè l'insieme dei punti che si ottengono 

 sopprimendo nei punti di u un certo numero di coordinate di 

 posto determinato, formano ancora un campo; in particolare i 

 punti di u che stanno su una qualsiasi retta .saranno i punti 

 interni a una successione di segmenti i cui estremi apparter- 

 ranno al contorno di //. 



Infine dai [)recedenti teoremi segue immediatamente che 

 i eampi aperti, gli insiemi chiusi e le loro sezioni rettilinee 



(') Questi) risultato è già stato dimostrato per altra via e per insifini 

 limitati ila L. '/nri'tii. V. * Eucvolupr'dif dt'H kc. inathéiii. ,, t. I. 



