SOGLI INTEGRALI ESTESI AL CONTORNO, ECC. 251 



sono misurabili nel senso di Borei e a fortiori nel senso di 

 Lebesgue. 



4. — Per espi'imei'e completamente l'idea intuitiva di por- 

 zione continua di uno spazio, bisogna tradurre in linguaggio 

 matematico il concetto di essere formata o meno di un sol pezzo, 

 cioè bisogna definire la connessione. 



Un campo aperto si dirà connesso se dati due suoi punti 

 qualunque ,r e // si può trovare un numero finito p di sfere 

 tutte contenute in ii e di raggio non nullo, Sj, Sg,...., Sp tali che 

 due consecutive abbiano dei punti interni comuni e x sia con- 

 tenuto in Si mentre y sta in Sp. 



Nel seguito dirò brevemente che x e y b\ possono collegare 

 mediante una successione finita e continua di sfere. 



Questa definizione è equivalente a quella che cliiama con- 

 nesso u i^e X e y si possono congiangere con una spezzata di 

 un numero finito di lati tutta contenuta in m, ma è da prefe- 

 rirsi perchè non fa uso del concetto di segmento rettilineo che 

 è estraneo nWanalysis sitiis. 



Teorema. — La somma di due campi aperti connessi u e v aventi 

 un punto comune z è un campo connesso; intendendo per somma 

 l'insieme dei punti che appartengono a qualcuno dei due campi. 



DiM. — E evidente infatti che l'insieme iv somma ài u e v 

 è ancora un campo aperto: inoltre, detto .r un punto qualunque 

 di n e y un punto qualunque di v, esiste una successione finita 

 e continua di sfere contenute in u che collega a; a 2; ed un'altra 

 pure finita e continua contenuta in che unisce z ad" y, onde 

 queste due insieme costituiscono una successione ancora finita e 

 continua contenuta in w e che permette di passare da ic ad y 

 dimostrando la connessione di w. 



Allora le sfere di raggio massimo inscritte in due campi 

 senza punti comuni non possono avere punti comuni e poiché 

 esiste al piìi una infinità numerabile di sfere senza punti co- 

 muni, ne risulta immediatamente che il più generale campo 

 aperto è la somma di una classe niunerabile di campi connessi a 

 due a due senza punti interni comuni. 



5. — Dirò che una successione di sfere s^, s^ tende ad 



un punto X. quando per ogni numero h ^ esiste un intero m 

 tale che per qualunque n'^ m sia s^ contenuta in a [x, h). 



