252 GINO FOLI 



Allora dato ini campo aperto u dico che x è un punto rag- 

 giungihilc del suo contorno se esiste una successione continua di 

 sfere (cioè tale che due sfere consecutive abbiano qualche punto 

 comune) tutte contenute in \\ e tendenti ad x. 



I punti raggiungibili così definiti sono tutti e soli i punti del 

 contorno che possono essere estremi di una curva di Jordan tutta 

 interna ad u. 



Infatti se j* è raggiungibile esiste per definizione una suc- 

 cessione continua di sfere .<?i, s.^ interne ad u e tendenti ad x. 



I punti del segmento rettilineo che congiunge i centri di due 

 sfere consecutive sono interni all'una o all'altra sfera, quindi 

 interni ad u. Allora la successione di questi segmenti costituisce 

 una spezzata tendente al punto x, i cui punti insieme ad x 

 formano precisamente una linea di Jordan tutta interna ad u 

 tranne l'estremo x. 



V'iceversa sia data una curva di Jordan C interna ad u 

 tranne un estremo che è un punto x del contorno. Le coordi- 

 nate dei suoi punti siano funzioni continue di un parametro t 

 nell'intervallo 0'~1 in modo che x corrisponda sit^zO. Chiamo 

 allora Ci, C2 C',., i punti di C corrispondenti ai valori 



— , TT, ... , — ,.•• del parametro. L'arco compreso fra i punti 



Cn, Cn+i è costituito di ])unti che sono tutti centri di uiui sfera 

 inscritta in 11. l'er il teorema di Heine-Borei si potrà trovare 

 un numero finito di queste sfere tali che ogni punto dell'arco 

 considerato sia interno ad almeno una di esse, e si potranno 

 disporre in successione continua. Allora l'insieme di queste suc- 

 cessioni di sfei'e relative a ciascuno degli archetti in cui ho 

 diviso C costituisce una successione infinita di sfere contenute in // 

 che dimostrerò tendente ad x. Infatti, qualunque sia /»>(), a causa 

 della continuitii delle funzioni die definiscono C posso trovare 

 un punto c„ tale che tutti i segmenti siano distanti da x meno 



di A; <C y . I raggi delle sfere inscritte in it die hanno il centro 



nei punti di C compresi fra f „ e x saranno quindi al piìi uguali 

 a k e perciò tutte le sfere della successione considerata, die 

 seguono quella contenente r„, .sono contenute in a (.r, /t). 



L'insieme dei punti raggiungibili <> sufficiente ad individuare 

 il contorno. poichJi dimostrerò il .seguente 



