SOGLI INTEGRALI ESTESI AL CONTORNO, ECC. 253 



Teokema. — lì contorno di un campo è la somma delVinsieme 

 dei suoi punti raggiimgibiH e del derivato di questo. 



Se a; è un punto del contorno, basta che dimostri che è 

 esso stesso raggiungibile o che qualunque sia /i > esistono 

 punti raggiungibili di 0^ interni a cr [x, h). Ora per la definizione 

 di contorno esisterà certo un punto // di u interno a a [x, h), 

 e lo congiungo a x con un segmento rettilineo, il quale risulta 

 di punti tutti interni a a [x, h). Se tutti i punti interni del 

 segmento xg appartengono ad 11, x è raggiungibile perchè estremo 

 di una linea di Jordan contenuta in u\ altrimenti i punti di u 

 formano su xy più segmenti senza punti interni comuni i cui 

 estremi sono punti raggiungibili di s. 



6. — Prima di procedere a mostrare che nella posizione dei 

 problemi al contorno è di importanza fondamentale la considera- 

 zione dei punti raggiungibili, mentre gli altri che non possono es- 

 sere raggiunti con una linea continua dall'interno e non sono che i 

 punti limiti dei primi non hanno alcuna importanza, è necessario 

 mettere in chiaro il concetto di multi plicità dei punti raggiungibili. 



Se a? è un punto raggiungibile del contorno di un campo 

 aperto connesso u, i punti di u interni a (J {x, h) per un dato 

 h^O possono dividersi in più campi connessi. Indico con % il 

 numero di quelli che hanno ancora x come pnnto raggiungibile 

 dei proprio contorno mentre con p^ indico ciascuno di essi. In 

 ogni p^ fisso una successione continua di sfere contenute in esso 

 e tendente ad x, in modo da ottenere % successioni distinte. 

 Se ora k<^h, i punti di te contenuti in a [x. k) formano pure 

 dei campi connessi, dei quali w,, contengono le date successioni 

 da un certo termine in poi e quindi hanno x come punto rag- 

 giungibile del contorno. Essi sono distinti fra loro, perchè 

 ognuno di essi è contenuto per intero (altrimenti non sarebbe 

 connesso) in qualche p,,, e se due fossero contenuti nel mede- 

 simo pr, questo conterrebbe due successioni di sfere contraria- 

 mente all'ipotesi. Dunque %>W/,, e allora facendo tendere h 

 a zero Uh avrà un limite superiore (finito o no) che chiamerò 

 ['ordine di multiplicità del punto x considerato. Si potrà anche 

 dire che i punti non raggiungibili hanno la multiciplità zero. 



Limitatamente ai campi piani vale il seguente notevole 

 teorema relativo all'ordine di multiplicità. 



