254 GINO POLI 



Teorema. — // contortw comune a due campi piani connessi 

 non ha punti multipli (^). 



DiM. — Siano u e v due campi piani connessi senza punti 

 comuni, aventi il medesimo contorno .s% cioè ogni punto di s sia 

 limite di punti interni ad u come di punti interni a r. Dimo- 

 strerò che se a; è un punto raggiungibile rispetto ad u del con- 

 torno s e multiplo, allora v non è connesso. 



Infatti esisterà un numero h > tale che in e {x, h) u 

 fo!mi due campi connessi distinti m ed n aventi eiitrambi a 

 per punto raggiungibile del proprio contorno. Fisso un punto // 

 in m ed uno z in n. Unisco y con x mediante una linea di 

 Jordan interna ad m, z ad x con altra linea di Jordan interna 

 ad n, y con z mediante una terza linea interna ad ii. .Se questa 

 taglia. per~ es., la prima linea, considero fra tutti i punti di 

 incontro quello il cui parametro (sulla jix) è il più prossimo al 

 valore assunto sul punto ./:, e lo assumo per nuovo punto y 

 anche se coincidesse con x. Analogamente opero sulla linea zx. 

 L'insieme delle linee congiungenti x, y, z e cosi una linea chiusa./ 

 di Jordan tutta costituita di punti non di v. Ora esisterà un 

 k <h tale che qualche punto di y sia esterno a a (x, k). Chiamo p 

 la porzione di m contenuta in a (./•. A). 7 la parte analoga di n. 

 Tanto p che q contengono punti di J. Infatti /;/ contiene punti 

 di ./ prossimi quanto voglio ad x, e similmente //. Quindi in 

 ciascuna delle due regioni in cui ./ divide il piano vi sono sia 

 punti p che punti 7 e quindi punti s. Ma ogni punto .s^ è limite 

 di pimti r, quindi ciascuna delle dette regioni contiene punti 

 di r, il quale perciò non è connesso. 



È importante notare che il teorema vale esclusivamente sul 

 piano e non è piìi vero già nello spazi*» ordinario. 



7, — Detto X nn punto raygiunyibile del contorno di un 

 campo u, dirò che due successioni continue di sfere tendenti ad x, 

 tendono al medesimo demento del coìitorno di u se esiste un h > 

 tale che per ogni k << li tutte le sfere delle due successioni ronte- 



(') In 'particolare, una curva chiusa di Jordan non ]mh avere punti 

 iiuiltipli, perchè divide il piano in due campi connessi, e nemmeno una 

 linea aperta di Jordan ha punti multipli, pnichl- unendon.- prli entremi, 

 p. es. con un arco di cerchio, si ottieni' una linea chiusa. 



