SUGLI INTEGRALI ESTESI AL CONTORNO, ECC. 255 



mite in a (x, k) siano contenute in uno stesso di quei campi connessi 

 che u determina in o (x, k). E in modo analogo parlerò di curve 

 di Jordan aventi un estremo comune in un medesimo elemento. 



Cosicché ad ogni punto del contorno corrispondono tanti 

 elementi quanto è il suo ordine di multiplicità. 



Supponiamo che in u sia data una funzione f continua sui 

 punti interni e tale che per ogni linea di Jordan interna ad u 

 tranne un estremo x che è sul contorno il valore di f in un 

 punto // della curva tenda a un limite determinato quando i/ 

 tende ad x. Allora su tutte le curve che hanno un estremo in 

 un medesimo elemento di s. la f ha lo stesso limite, così che /' 

 rimane definita univocamente in ogni elemento del contorno. Se 

 infatti sono Ci, C^ due linee di Jordan interne ad u che ten- 

 dono al medesimo elemento z di un punto x di s, prendo su C^ 

 una successione di punti 2hì Ps, Ih' ■•• ^ su C^ una successione 

 analoga ^27 Pì.i Pe- ••• entrambe tendenti a z, in modo che detta di 

 la distanza di pi da .r, sia d^^ d2^ d^^ ... Allora posso con- 

 giungere 2)i a P2 con un pezzetto di linea di Jordan contenuto 

 in o {x, di), quindi p^ a p^ con un altro pezzetto contenuto 

 in a (x, 6^2), ecc. La catena di questi successivi pezzetti costi- 

 tuisce un'unica linea di Jordan Cg tendente al medesimo ele- 

 mento z. Se ora fpi, fps, -.. avesse un limite diverso da fp^, 

 fp4^,..., la f su Cg non tenderebbe a nessun limite determinato 

 contrariamente all'ipotesi. 



Dunque il valore di f nell'elemento z del punto x di •:> 

 sarà il limite dei valori di f nei punti di u interni al campo 

 di 0" {x, h) che determina l'elemento z, quando h tende a zero (^). 

 E si potrà dire che la /" è continua anche sul contorno di m, 

 poiché nel caso che i punti di s siano funzione biunivoca con- 

 tinua di un parametro t, in f è funzione continua di t. 



Infatti se nel punto x corrispondente al valore t la f non 

 è continua vuol dire che esiste una quantità /« > tale che 

 esistono punti z del contorno prossimi quanto voglio a a:: in cui 



(l) \f^-f^\> 



m. 



(') Altrimenti esisterebbe una successione di punti tendente all'ele- 

 mento z nei quali f non tenderebbe a fz; ma riunendo ogni punto al suc- 

 cessivo con un tratto di curva di Jordan si otterrebbe una linea avente 

 un estremo in e su cui f non tende a fz che è stato dimostrato assurdo. 



