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Invece esisterà per quanto si è detto un h^O tale che nei 

 punti </ di i( inteini a o (.r, h) sia {^) 



(2) \f^-fy\< 



m 



Così scelto z distante da x meno di . esisterà un Ar < 



tale che per ogni </ di n interno a a {z, k) (e a fortiori interno 

 a a {x, h)) sia 



(3) !A-/:v'<Y. 



Allora sottraendo dalla (1) la (3) si ha 



_ fw I ^ 



\fy-f^\>\f^-M-'f^-fy\>'" 



che contraddice alla (2). 



E cosi rimane dimostrata la continuità di / anche sul con- 

 torno. 



Se il contorno è generale la f in un punto multiplo può 

 avere più valori distinti, ciascuno dei quali è individuato dando 

 una linea che abbia un estremo nell'elemento al quale esso 

 corrisponde. 



Cosi siamo condotti naturalmente a porre la seguente defi- 

 nizione : Dico che f è una funzione del contorno s di un rampo 

 dato, quando /. essendo un elemento di s, fz è una quantità reale. 



8. — Sul contoino s di un campo piano m. sia definita la 

 funzione f nel modo detto. Su una retta .r = cost i punti di m 

 formano una successione di intervalli senza punti interni comuni 

 1 cui estremi inferiori sono individuati dalh^ ordinate //, . //o. ... 

 e i relativi esti-emi superiori da //1.//2... Ciascuno di questi 

 estremi è un punto raggiungibile del contorno e, se è multiplo, 

 il segmento di cui è l'estremo ne individua un elemento. 



Se (|uindi con f {x,y) indillo il valore di f nel detto ele- 

 mento <lel punto che ha le coordinate x. //, e supposto che il 

 gruppo dei punti x in cui la somma 



cp.r - :V[/-(x,y/)-/-(r.//,)l 



(') Si ricordi l'osservazione a pie di paKÌ»ii relativa al teorema «lei 

 n" 6, che cioè ogni linea di Jordan ha solo punti semplici. 



